Mathematics

Systems of Equations I

Linear systems with 2 variables (elimination, substitution, and types of solutions), nonlinear systems with 2 variables, and Gaussian elimination for 3-variable systems including compatibility discussion and parameters.

They are systems made up of two linear equations of the form:
{A x+B y=CA′x+B′y=C′\begin{cases} A\,x + B\,y = C \\ A'x + B'y = C' \end{cases}
They can be solved using the methods of elimination, equating, and substitution.
Geometric interpretation: considering that the equations of the system represent lines in a plane, the three types of solutions correspond to the relative positions between the two lines:
ConditionSystem TypeNo. of Sols.Positions
AA′=BB′=CC′\dfrac{A}{A'} = \dfrac{B}{B'} = \dfrac{C}{C'}Consistent
Dependent		∞\inftyCoincident lines
AA′=BB′≠CC′\dfrac{A}{A'} = \dfrac{B}{B'} \neq \dfrac{C}{C'}Inconsistent00Parallel lines
AA′≠BB′\dfrac{A}{A'} \neq \dfrac{B}{B'}Consistent
Independent		11Intersecting lines
These are systems consisting of two equations, where at least one is not of the first degree (linear). They are generally solved by substitution, although other methods can be useful. Each solution is an ordered pair (x, y). Examples:
{x2+y2=169x+y=17\begin{cases} x^2 + y^2 = 169 \\ x + y = 17 \end{cases}
Resolvemos por sustitución. Despejamos x de la 2ª ec. x=17−yx = 17 - y, y sustituimos en la 1ª:
(17−y)2+y2=169(17-y)^2 + y^2 = 169
Sol.: (12,5)  ;(5,12)(12, 5)\;; \quad (5, 12)
{y2−2y+1=xx+y=5\begin{cases} y^2 - 2y + 1 = x \\ \sqrt{x} + y = 5 \end{cases}
Resolvemos por sustitución. La x ya está despejada en la 1ª ecuación. Sustituimos en la 2ª:
y2−2y+1+y=5\sqrt{y^2 - 2y + 1} + y = 5
Sol.: (4,3)(4, 3)
{3x2+2y2=112x2+4y2=18\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 11 \\ 2x^2 + 4y^2 = 18 \end{cases}
Resolvemos por reducción.
3E2−2E1{3x2+2y2=110+8y2=32\begin{matrix} \\ 3E_2 - 2E_1 \end{matrix} \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 11 \\ 0 + 8y^2 = 32 \end{cases}
Para cada solución obtenida de y resolvemos x, se tiene:

Sol.: (−1,−2)  ;(−1,2)  ;(1,−2)  ;(1,2)(-1, -2)\;; \quad (-1, 2)\;; \quad (1, -2)\;; \quad (1, 2)

{log⁡x+log⁡y=3log⁡1x+log⁡y2=3\begin{cases} \log x + \log y = 3 \\ \log \dfrac{1}{x} + \log y^2 = 3 \end{cases}
Aplicando las propiedades de los logaritmos se obtiene:
{x⋅y=1000y2x=1000\begin{cases} x \cdot y = 1000 \\ \dfrac{y^2}{x} = 1000 \end{cases}
Solve by substitution: isolate x from the 1st eq. and substitute it into the 2nd (the solution must be checked).
y31000=1000\dfrac{y^3}{1000} = 1000
Sol.: (10,100)(10, 100)
Gaussian elimination is the elimination method applied to linear systems of 3 or more equations. It consists of transforming the system into an equivalent one in row echelon form, as follows:
{Ax+By+Cz=DAx+B′y+C′z=D′Ax+By+C′′z=D′′\begin{cases} Ax + By + Cz = D \\ \phantom{Ax + } B'y + C'z = D' \\ \phantom{Ax + By + } C''z = D'' \end{cases}
  • Por simplicidad, escribimos el sistema como una matriz.
  • Ordenamos el sistema. Tomamos como pivote la ecuación más sencilla y la ponemos la 1ª.
  • Mediante combinaciones lineales eliminamos los términos en x de la 2ª y 3ª ecuación (También se puede actuar así con cualquier otra incógnita).
  • Eliminamos el término en y de la 3ª combinado con la 2ª.
  • Solucionamos de abajo a arriba.
Example:
{x−2y+z=32x−5y+3z=45x+y+7z=11⇒(1−21∣32−53∣4517∣11)=\begin{cases} x - 2y + z = 3 \\ 2x - 5y + 3z = 4 \\ 5x + y + 7z = 11 \end{cases} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 3 \\ 2 & -5 & 3 & | & 4 \\ 5 & 1 & 7 & | & 11 \end{pmatrix} =
=E2−2E1E3−5E1(1−21∣30−11∣−20112∣−4)=E3+11E2(1−21∣30−11∣−20013∣−26)= \begin{matrix} \\ E_2 - 2E_1 \\ E_3 - 5E_1 \end{matrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 3 \\ 0 & -1 & 1 & | & -2 \\ 0 & 11 & 2 & | & -4 \end{pmatrix} = \begin{matrix} \\ \\ E_3 + 11E_2 \end{matrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 3 \\ 0 & -1 & 1 & | & -2 \\ 0 & 0 & 13 & | & -26 \end{pmatrix}
La última ecuación resultante es 13z=−2613z = -26. Solucionando hacia arriba obtenemos: x=5  ;y=0  ;z=−2x=5\;; \quad y=0\;; \quad z=-2
Classifying Systems using Gaussian Elimination
Aplicado Gauss, si la última ecuación resultante es del tipo:
  • (0, 0, 0, 0) nula: el sistema es Compatible Indeterminado. Se resuelve tomando una incógnita como parámetro.
  • (0, 0, K1K_1, K2K_2) o (0, 0, K, 0): es Compatible Determinado
  • (0, 0, 0, K) con K≠\neq0: el sistema es Inconsistent.
{x−2y=−3−2x+3y+z=42x+y−5z=4⇒(1−20∣−3−231∣421−5∣4)=\begin{cases} x - 2y = -3 \\ -2x + 3y + z = 4 \\ 2x + y - 5z = 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & | & -3 \\ -2 & 3 & 1 & | & 4 \\ 2 & 1 & -5 & | & 4 \end{pmatrix} =
=E2+2E1E3−2E1(1−20∣−30−11∣−205−5∣10)=E3+5E2(1−20∣−30−11∣−2000∣0)= \begin{matrix} \\ E_2 + 2E_1 \\ E_3 - 2E_1 \end{matrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & | & -3 \\ 0 & -1 & 1 & | & -2 \\ 0 & 5 & -5 & | & 10 \end{pmatrix} = \begin{matrix} \\ \\ E_3 + 5E_2 \end{matrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & | & -3 \\ 0 & -1 & 1 & | & -2 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}
El sistema es compatible indeterminado. Tiene infinitas soluciones. Tomamos z=λz=\lambda y la 2ª ec. queda: −y+λ=−2-y+\lambda = -2
Solucionando hacia arriba: x=2λ+1  ;y=λ+2  ;z=λx = 2\lambda + 1 \;; \quad y = \lambda + 2 \;; \quad z = \lambda
Systems with a Parameter. Example:
We apply Gaussian elimination and analyze the values of the parameter in the last row based on the previous rules:
{x−2y−3z=−12x−y+z=34x−5y−kz=1⇒(1−2−3∣−12−11∣34−5−k∣1)=\begin{cases} x - 2y - 3z = -1 \\ 2x - y + z = 3 \\ 4x - 5y - kz = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 & | & -1 \\ 2 & -1 & 1 & | & 3 \\ 4 & -5 & -k & | & 1 \end{pmatrix} =
=E2−2E1E3−4E1(1−2−3∣−1037∣50312−k∣5)=E3−E2(1−2−3∣−1037∣5005−k∣0)= \begin{matrix} \\ E_2 - 2E_1 \\ E_3 - 4E_1 \end{matrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 & | & -1 \\ 0 & 3 & 7 & | & 5 \\ 0 & 3 & 12-k & | & 5 \end{pmatrix} = \begin{matrix} \\ \\ E_3 - E_2 \end{matrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 & | & -1 \\ 0 & 3 & 7 & | & 5 \\ 0 & 0 & 5-k & | & 0 \end{pmatrix}
Evaluando la última ecuación:
  • Si k=5, la 3ª ecuación queda del tipo (0, 0, 0, 0) nula: el sistema es Compatible Indeterminado.
  • Si k≠\neq5, la 3ª ecuación queda del tipo (0, 0, K, 0): el sistema es Compatible Determinado.