Física

Cinemática del movimiento circular

Estudio del movimiento circular. Magnitudes angulares (posición, velocidad y aceleración), relación con magnitudes lineales, Movimiento Circular Uniforme (MCU) y Uniformemente Acelerado (MCUA).

El movimiento de un cuerpo a lo largo de una trayectoria circular se define por las magnitudes angulares:

  • Posición angular θ\theta: Es el ángulo recorrido medido desde el eje positivo X en radianes (rad). El sentido positivo es el sentido trigonométrico, o antihorario. Se corresponde con la posición en el movimiento lineal.
  • Desplazamiento angular Δθ\Delta\theta: es la diferencia de dos posiciones (ángulos) Δθ=θf−θi\Delta\theta = \theta_f - \theta_i (rad). Se corresponde con el desplazamiento en el mov. lineal.
  • Velocidad angular ω\omega: mide el desplazamiento angular por unidad de tiempo (rad/s). Se corresponde con la velocidad del movimiento lineal.
  • Aceleración angular α\alpha: representa la variación de velocidad angular respecto al tiempo (rad/s²). Se corresponde con la aceleración del movimiento lineal.
Magnitudes angulares en el movimiento circular
Revoluciones por minuto (rpm): unidad de velocidad angular. Factor de conversión entre rpm - rad/s
1 rpm→2π rad60 s1\text{ rpm} \rightarrow \frac{2\pi\text{ rad}}{60\text{ s}}
Revoluciones por segundo (rps):
1 rps→2π rad1 s1\text{ rps} \rightarrow \frac{2\pi\text{ rad}}{1\text{ s}}
  • Cuando un cuerpo describe un movimiento circular, recorre un arco de longitud s=2πRs=2\pi R al girar un ángulo de θ=2π (rad)\theta=2\pi \text{ (rad)}, entonces el espacio recorrido (arco) ss, a lo largo de la trayectoria se relaciona con el ángulo girado según:

    s=θ⋅Rs = \theta \cdot R
  • Asimismo la relación entre la velocidad lineal (tangencial), y la velocidad angular, así como la aceleración lineal (tangencial) y la aceleración angular;

    v=ω⋅Rv = \omega \cdot R

    at=α⋅Ra_t = \alpha \cdot R
Relación de magnitudes lineales y circulares
  • La aceleración centrípeta o normal, es la componente de aceleración que mantiene al móvil describiendo la curva, con dirección al centro de la curva
an=v2R=ω2Ra_n = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R
Las ecuaciones de los movimientos circulares son similares a las ecuaciones lineales, haciendo los cambios:
s→θv→ωat→αs \rightarrow \theta \qquad v \rightarrow \omega \qquad a_t \rightarrow \alpha
En el Movimiento Circular Uniforme, el móvil se \mueve con velocidad angular constante:
ω=cte\omega = cte

La ecuación del movimiento será:
θ=θ0+ω0⋅t\theta = \theta_0 + \omega_0 \cdot t

La velocidad lineal también será constante. La aceleración tangencial será 0, y la aceleración centrípeta, será constante:
v=cteat=0an=v2R=ctev = cte \qquad a_t = 0 \qquad a_n = \frac{v^2}{R} = cte
Convenio de signos
Periodo: Es el tiempo empleado en dar una vuelta, en segundos (s):
T=2πωT = \frac{2\pi}{\omega}
Frecuencia: es el número de vueltas por unidad de tiempo. Es la inversa del periodo. Se mide en hercios (Hz) que equivalen a (rps)
f=1To bienω=2πff = \frac{1}{T} \quad \text{o bien} \quad \omega = 2\pi f
Un móvil se \mueve con velocidad constante de 5 m/s sobre una trayectoria circular de radio 10 m. Calcular:
a) velocidad angular en rad/s y rpm,
b) el periodo y frecuencia del movimiento,
c) el número de vueltas y el espacio recorrido en 10 min.
a)
ω=vR=510=0,5 rad/s\htmlClass{text-primary}{\omega = \frac{v}{R} = \frac{5}{10} = 0,5\text{ rad/s}}
ω=0,5rads⋅1 rev2π rad⋅60 s1 min=4,77 rpm\htmlClass{text-primary}{\omega = 0,5\frac{\text{rad}}{\text{s}} \cdot \frac{1\text{ rev}}{2\pi\text{ rad}} \cdot \frac{60\text{ s}}{1\text{ min}} = 4,77\text{ rpm}}
b)
T=2πω=12,56 s\htmlClass{text-primary}{T = \frac{2\pi}{\omega} = 12,56\text{ s}}
f=1T=0,079 Hz\htmlClass{text-primary}{f = \frac{1}{T} = 0,079\text{ Hz}}
c) Aplicamos la ecuación del movimiento MCU con t=600s:
θ=θ0+ω0⋅t  ⟹  θ=0,5⋅600=300 rad\htmlClass{text-primary}{\theta = \theta_0 + \omega_0 \cdot t \implies \theta = 0,5 \cdot 600 = 300\text{ rad}}
El número de vueltas será:
N=θ2π=3002π=47,74 rev\htmlClass{text-primary}{N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{300}{2\pi} = 47,74\text{ rev}}
El espacio, o arco recorrido:
s=θ⋅R=300⋅10=3000 m\htmlClass{text-primary}{s = \theta \cdot R = 300 \cdot 10 = 3000\text{ m}}
En el Movimiento Circular Uniformemente Acelerado, el móvil se \mueve con aceleración angular constante: α=cte\alpha = cte
Las ecuaciones del movimiento serán:
{θ=θ0+ω0⋅t+12α⋅t2ω=ω0+α⋅t\begin{cases} \theta = \theta_0 + \omega_0 \cdot t + \frac{1}{2}\alpha \cdot t^2 \\ \omega = \omega_0 + \alpha \cdot t \end{cases}
Convenio de signos
La aceleración tangencial también será constante, y la aceleración centrípeta o normal, variable
at=α⋅R=ctea_t = \alpha \cdot R = cte
an=v2Ra_n = \frac{v^2}{R}
Combinando ambas ecuaciones de movimiento obtenemos la Ecuación de Torricelli para rotación:
ω2=ω02+2α(θ−θ0)\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)