Física

Cinemática

Estudio del movimiento sin atender a sus causas. Vector de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración. Componentes intrínsecas de la aceleración. Ecuaciones del Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) y Uniformemente Acelerado (MRUA).

La Cinemática es la parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos sin estudiar sus causas.
Posición
Vector de Posición, r⃗(t)\vec{r}(t): indica las coordenadas de posición del móvil en cada instante.
r⃗(t)=x(t)i⃗+y(t)j⃗\vec{r}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j}
r⃗(t)=(2t)i⃗+(4−t2)j⃗\htmlClass{text-primary}{\vec{r}(t) = (2t)\vec{i} + (4-t^2)\vec{j}}
Vector de Desplazamiento, Δr⃗\Delta\vec{r}: es la diferencia de posición entre dos instantes t1t_1 y t2t_2.
Δr⃗1→2=r⃗t2−r⃗t1\Delta\vec{r}_{1\to 2} = \vec{r}_{t_2} - \vec{r}_{t_1}
Δr⃗2→4=(8i⃗−12j⃗)−(4i⃗)=4i⃗−12j⃗\htmlClass{text-primary}{\Delta\vec{r}_{2\to 4} = (8\vec{i}-12\vec{j}) - (4\vec{i}) = 4\vec{i}-12\vec{j}}
Desplazamiento ∣Δr⃗∣|\Delta\vec{r}|: distancia lineal entre dos puntos.
∣Δr⃗∣=∣r⃗t2−r⃗t1∣|\Delta\vec{r}| = |\vec{r}_{t_2} - \vec{r}_{t_1}|
∣Δr⃗2→4∣=42+122=12,65 m\htmlClass{text-primary}{|\Delta\vec{r}_{2\to 4}| = \sqrt{4^2 + 12^2} = 12,65\text{ m}}
Trayectoria: es el camino seguido por el móvil. Matemáticamente se puede describir en forma de ecuación paramétrica, implícita o explícita.
{x=x(t)y=y(t)⇒y=f(x)\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases} \Rightarrow y=f(x)
{x=2ty=4−t2⇒y=4−x24\htmlClass{text-primary}{\begin{cases} x=2t \\ y=4-t^2 \end{cases} \Rightarrow y=4-\frac{x^2}{4}}
Distancia recorrida: Corresponde a la longitud de la línea sobre la que se \mueve el cuerpo entre dos instantes. No se debe confundir con el desplazamiento.
Trayectoria y distancia recorrida frente al desplazamiento
Velocidad
Velocidad media, v⃗m\vec{v}_m: es el cociente entre el desplazamiento en un intervalo de tiempo.
v⃗m=Δr⃗Δt=r⃗t2−r⃗t1t2−t1\vec{v}_m = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} = \frac{\vec{r}_{t_2} - \vec{r}_{t_1}}{t_2 - t_1}
v⃗m(2→4)=Δr⃗2→4Δt=4i⃗−12j⃗4−2=2i⃗−6j⃗\htmlClass{text-primary}{\vec{v}_{m(2\to 4)} = \frac{\Delta\vec{r}_{2\to 4}}{\Delta t} = \frac{4\vec{i} - 12\vec{j}}{4-2} = 2\vec{i} - 6\vec{j}}
Velocidad instantánea v⃗(t)\vec{v}(t) o vector velocidad en un instante concreto. Es la derivada temporal del vector de posición. Tiene dirección tangente a la trayectoria.
v⃗(t)=dr⃗dt\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt}
v⃗(t)=2i⃗−2tj⃗\htmlClass{text-primary}{\vec{v}(t) = 2\vec{i} - 2t\vec{j}}
Celeridad: es el valor escalar de la velocidad (módulo).
∣v⃗(t)∣=vx2+vy2Ej.: ∣v⃗(t)∣=4+4t2|\vec{v}(t)| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \quad \text{Ej.: } |\vec{v}(t)| = \sqrt{4+4t^2}
Vector velocidad tangente a la trayectoria
Aceleración
Aceleración media, a⃗m\vec{a}_m: que indica la variación de velocidad entre dos instantes respecto al tiempo empleado.
a⃗m=Δv⃗Δt=v⃗t2−v⃗t1t2−t1\vec{a}_m = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v}_{t_2} - \vec{v}_{t_1}}{t_2 - t_1}
a⃗m(2→4)=v⃗4−v⃗2Δt=−4j⃗4−2=−2j⃗\htmlClass{text-primary}{\vec{a}_{m(2\to 4)} = \frac{\vec{v}_4 - \vec{v}_2}{\Delta t} = \frac{-4\vec{j}}{4-2} = -2\vec{j}}
Aceleración instantánea a⃗(t)\vec{a}(t): vector aceleración en un instante concreto. Es la derivada temporal de la velocidad.
a⃗(t)=dv⃗dt\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt}
a⃗(t)=−2j⃗\htmlClass{text-primary}{\vec{a}(t) = -2\vec{j}}
Componentes intrínsecas de la aceleración: la a⃗\vec{a} se puede descomponer en una componente tangente a la trayectoria, que es la que provoca cambio de velocidad, y otra componente perpendicular a esta, que provoca el cambio de dirección, cumpliendo: a2=at2+an2a^2 = a_t^2 + a_n^2
Componentes intrínsecas de la aceleración
Aceleración tangencial: Su módulo es:
∣a⃗t∣=∣d∣v⃗(t)∣dt∣|\vec{a}_t| = \left|\frac{d|\vec{v}(t)|}{dt}\right|
∣a⃗t∣=d(4+4t2)dt=4t4+4t2\htmlClass{text-primary}{|\vec{a}_t| = \frac{d(\sqrt{4+4t^2})}{dt} = \frac{4t}{\sqrt{4+4t^2}}}
Aceleración normal: o aceleración centrípeta. Está dirigida hacia el centro de curvatura. Permite calcular el radio de curvatura. Su módulo es:
∣a⃗n∣=∣v⃗∣2R|\vec{a}_n| = \frac{|\vec{v}|^2}{R}
El Movimiento Rectilíneo Uniforme es un movimiento con velocidad constante, v0v_0. La ecuación de posición es:
x=x0+v0⋅tx = x_0 + v_0 \cdot t
Esquema de Movimiento Rectilíneo Uniforme
El Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado es un movimiento con aceleración constante, aa.
Esquema de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado
Las ecuaciones del movimiento son:
{x=x0+v0⋅t+12a⋅t2v=v0+a⋅t\begin{cases} x = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2}a \cdot t^2 \\ v = v_0 + a \cdot t \end{cases}
Combinando ambas se obtiene:
v2=v02+2a(x−x0)v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)
En un problema de cruces o alcances, plantearemos las ecuaciones de movimiento apropiadas de cada móvil;
x1=f(t)x2=g(t)x_1 = f(t) \quad x_2 = g(t)
La clave es que cuando se cruzan, las posiciones son iguales, entonces podremos igualar sus ecuaciones y despejar el tiempo que tardan en alcanzarse:
x1=x2  ⟹  f(t)=g(t)x_1 = x_2 \implies f(t) = g(t)
Ejemplo: Un ciclista sale desde la posición x=1000 m con velocidad constante v0=5m/s. 10s más tarde arranca un coche a su alcance con aceleración a=2m/s². Calcular el tiempo y la posición al alcanzar al ciclista.
Para resolver un problema de cinemática seguiremos estos pasos:
1. Esquema y dibujo con datos: teniendo en cuenta que el ciclista lleva 10s de adelanto, tomando como origen de tiempos cuando arranca el coche. Tenemos este esquema:
Esquema de problema de alcances
2. Planteamos las ecuaciones de movimiento de cada móvil
Coche MRUA
Ciclista MRU
xc=12⋅2⋅t2vc=2⋅t\htmlClass{text-primary}{x_c = \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot t^2 \quad v_c = 2 \cdot t}
xcic=1000+5⋅(t+10)\htmlClass{text-primary}{x_{cic} = 1000 + 5\cdot(t+10)}
3. Resolvemos las ecuaciones: cuando se encuentran, las posiciones son iguales, entonces igualando xcic=xcx_{cic} = x_c
1000+5⋅(t+10)=t2\htmlClass{text-primary}{1000 + 5\cdot(t+10) = t^2}
De las dos soluciones descartamos la solución negativa. Obtenemos el tiempo que tarda el coche en alcanzar al ciclista. t=35s
Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones de posición obtenemos: x=1225m
Este tipo de movimiento es un caso particular del MRUA. Si hacemos a=−ga=-g, y a las posiciones las llamamos con la letra hh, las ecuaciones quedan:

{h=h0+v0⋅t−12g⋅t2v=v0−g⋅t\begin{cases} h = h_0 + v_0 \cdot t - \frac{1}{2}g \cdot t^2 \\ v = v_0 - g \cdot t \end{cases}
Esquema de tiro vertical
Tendremos en cuenta algunos casos:
• Si el objeto se suelta desde el reposo; v0=0v_0 = 0
• En el punto de altura máxima; v=0v = 0
• Al llegar al suelo; h=0h = 0
Un caso concreto es calcular la velocidad con que llega al suelo un cuerpo que se suelta, desde una altura hh. Se obtiene combinando ambas ecuaciones:
v=2ghv = \sqrt{2gh}
Ejemplo tiro vertical

Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 15m/s, desde una altura de 25m. a) Calcular la altura máxima que alcanzará, y b) la velocidad al llegar al suelo
1. Esquema:
2. Ecuaciones de movimiento:
Esquema ejemplo de tiro vertical
{h=25+15⋅t−4,9⋅t2v=15−9,8⋅t\htmlClass{text-primary}{\begin{cases} h = 25 + 15 \cdot t - 4,9 \cdot t^2 \\ v = 15 - 9,8 \cdot t \end{cases}}
3. a) En el punto más alto, v=0v=0, luego
0=15−9,8⋅t  ⟹  t=1,53 s\htmlClass{text-primary}{0 = 15 - 9,8 \cdot t \implies t = 1,53\text{ s}}
Sustituyendo en la ec. de posición se obtiene; h=36,48m
4. b) al llegar al suelo h=0h=0, entonces
0=25+15⋅t−4,9⋅t2\htmlClass{text-primary}{0 = 25 + 15 \cdot t - 4,9 \cdot t^2}
Resolviendo se obtiene; t=-1,19 y t=4,26 s. El valor negativo se descarta, y sustituyendo t=4,26s en la ecuación de velocidad obtenemos v=-26,74 m/s
El tiro parabólico es un movimiento compuesto en dos ejes donde el móvil es lanzado con una velocidad inicial formando un ángulo α\alpha con la horizontal. El movimiento se descompone en sus componentes xx e yy con las siguientes características:
Esquema general de tiro parabólico
Movimiento en X (MRU)
v0x=v0cos⁡α;ax=0v_{0x} = v_0 \cos \alpha; \quad a_x = 0
Ecuaciones:
x=x0+v0x⋅tx = x_0 + v_{0x} \cdot t
Movimiento en Y (MRUA)
v0y=v0senα;ay=−gv_{0y} = v_0 \text{sen} \alpha; \quad a_y = -g
Ecuaciones:
{y=y0+v0y⋅t−12g⋅t2vy=v0y−g⋅t\begin{cases} y = y_0 + v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2}g \cdot t^2 \\ v_y = v_{0y} - g \cdot t \end{cases}
Se lanza una pelota desde el suelo con v0=20m/s y α=30°. a) Calcular la altura máxima y b) el alcance máximo
1. Esquema
2. Ecuaciones del movimiento:
Esquema ejemplo tiro parabólico
{x=20⋅cos⁡30∘⋅ty=20⋅sen30∘⋅t−4,9⋅t2vy=20⋅sen30∘−9,8⋅t\htmlClass{text-primary}{\begin{cases} x = 20 \cdot \cos 30^\circ \cdot t \\ y = 20 \cdot \text{sen} 30^\circ \cdot t - 4,9 \cdot t^2 \\ v_y = 20 \cdot \text{sen} 30^\circ - 9,8 \cdot t \end{cases}}
3. a) La altura máxima se da cuando vy=0v_y=0, entonces
0=20⋅sen30∘−9,8⋅t  ⟹  t=1,02 s\htmlClass{text-primary}{0 = 20 \cdot \text{sen} 30^\circ - 9,8 \cdot t \implies t = 1,02\text{ s}}
Sustituyendo en la ecuación de la posición vertical obtenemos; y=5,1 m
3. b) El alcance máximo se da cuando la pelota cae al suelo, es decir, y=0y=0. De la ecuación de posición en yy tenemos:
0=20⋅sen30∘⋅t−4,9⋅t2\htmlClass{text-primary}{0 = 20 \cdot \text{sen} 30^\circ \cdot t - 4,9 \cdot t^2}
Resolviendo se obtiene; t=0 y t=2,04s. El primer valor es el momento del lanzamiento. Tomamos el segundo valor en la ecuación de xx y se obtiene xmax=35,33 m