Física

Vectores

Conceptos fundamentales de magnitudes escalares y vectoriales. Representación y componentes de vectores en el plano, operaciones básicas (suma y producto por escalar), producto escalar y producto vectorial en el espacio con la regla de la mano derecha.

Magnitud escalar: es una magnitud que queda descrita por un valor numérico con sus correspondientes unidades, por ejemplo la temperatura T, masa m, energía E.
Magnitud vectorial: es una magnitud que debe ser descrita por un valor (módulo) y una dirección en el espacio. Se representa con una flecha encima del símbolo, o en letra negrita. Ej.: velocidad v⃗=v\vec{v} = \mathbf{v} ; fuerza F⃗=F\vec{F} = \mathbf{F}
Un vector v⃗\vec{v} es un segmento orientado. Se designa por una pareja de coordenadas (vx,vy)(v_x, v_y) que indican el avance en horizontal y vertical respectivamente, respecto al sistema de referencia coordenado R2\mathbb{R}^2. Ej. v⃗=(3,2)\vec{v} = (3,2)
Representación gráfica de un vector en el plano cartesiano
Nomenclatura de vectores:
  • En coordenadas cartesianas: como un par de valores, que indican la posición x e y respectivamente del extremo del vector. Ej.: v⃗=(4,3)\vec{v} = (4,3)
  • En forma vectorial: como suma de componentes unitarias. La componente x se designa por i⃗\vec{i}, y la componente y por j⃗\vec{j}. Ej.: v⃗=4i⃗+3j⃗\vec{v} = 4\vec{i} + 3\vec{j}
  • En coordenadas polares: indicando el modulo, o tamaño, y la dirección o ángulo, con la horizontal. Ej.: v⃗=553∘\vec{v} = 5_{53^\circ}
Nomenclatura de vectores en componentes y ángulo
Vector entre dos puntos: dados dos puntos A y B, el vector AB⃗\vec{AB} es el segmento orientado que indica el avance desde el punto inicial A hasta el punto final B. Viene dado:
Vector entre dos puntos A y B
AB⃗=(bx−ax,by−ay)\vec{AB} = (b_x - a_x, b_y - a_y)
Módulo ∣v⃗∣|\vec{v}|: es el tamaño del vector. Se representa entre barras de valor absoluto o el símbolo sin flecha superior, y sin negrita.
Argumento α\alpha: es el ángulo formado con el semieje positivo X
∣v⃗∣=v=vx2+vy2|\vec{v}| = v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
α=arctgvyvx\alpha = \text{arctg}\frac{v_y}{v_x}
Cálculo del módulo y argumento de un vector
Vector unitario: es un vector de módulo 1. Para calcular un vector unitario de v⃗\vec{v}, se divide este entre su módulo:
u⃗v=(vx∣v⃗∣,vy∣v⃗∣)\vec{u}_v = \left(\frac{v_x}{|\vec{v}|}, \frac{v_y}{|\vec{v}|}\right)
Descomposición de un vector en sus componentes: Dado un vector en forma polar v⃗=v∣α\vec{v} = v_{|\alpha} podemos obtener sus componentes aplicando:
vx=v⋅cos⁡αv_x = v \cdot \cos \alpha
vy=v⋅senαv_y = v \cdot \text{sen} \alpha
Suma
Dados u⃗=(ux,uy)\vec{u} = (u_x, u_y) y v⃗=(vx,vy)\vec{v} = (v_x, v_y). La suma será:
u⃗+v⃗=(ux+vx,uy+vy)\vec{u} + \vec{v} = (u_x + v_x, u_y + v_y)
Ejemplo:
u⃗=(2,3)  ;  v⃗=(2,−1)⇒u⃗+v⃗=(2+2,3+(−1))=(4,2)\vec{u} = (2,3) \;;\; \vec{v} = (2,-1) \quad \Rightarrow \quad \vec{u} + \vec{v} = (2+2, 3+(-1)) = (4,2)
Gráficamente:
Suma gráfica de vectores
Producto de un vector por un escalar
Dado v⃗=(vx,vy)\vec{v} = (v_x, v_y) y un escalar kk. El producto k⋅v⃗k \cdot \vec{v} es:
k⋅v⃗=(k⋅vx,k⋅vy)k \cdot \vec{v} = (k \cdot v_x, k \cdot v_y)
Ejemplo: sea v⃗=(2,1)  ;  k=2\vec{v} = (2,1) \;;\; k = 2
2⋅v⃗=(2⋅2,2⋅1)=(4,2)2 \cdot \vec{v} = (2 \cdot 2, 2 \cdot 1) = (4,2)
Gráficamente:
Producto de un vector por un escalar gráficamente
Sean dos vectores u⃗=(ux,uy)\vec{u} = (u_x, u_y) y v⃗=(vx,vy)\vec{v} = (v_x, v_y). El producto escalar u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} es un escalar que viene dado por:
u⃗⋅v⃗=ux⋅vx+uy⋅vy\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y
Alternativamente, se puede calcular por la fór\mula:
u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣⋅∣v⃗∣⋅cos⁡α\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha
Siendo α\alpha el ángulo formado por los dos vectores. Ejemplo:
u⃗=(2,3)  ;  v⃗=(2,−1)⇒u⃗⋅v⃗=2⋅2+3⋅(−1)=1\vec{u} = (2,3) \;;\; \vec{v} = (2,-1) \quad \Rightarrow \quad \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = 1
Ángulo entre dos vectores:
α=arccos⁡u⃗⋅v⃗∣u⃗∣⋅∣v⃗∣\alpha = \arccos \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}
Ángulo entre dos vectores
El producto vectorial se aplica a vectores en el espacio R3\mathbb{R}^3
El resultado del producto vectorial (u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v}) es otro vector:
u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗uxuyuzvxvyvz∣\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix}
de módulo
∣u⃗×v⃗∣=∣u⃗∣⋅∣v⃗∣⋅senα|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \text{sen} \alpha
La dirección de (u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v}) es perpendicular a ambos, u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} y sentido según la regla de la mano derecha
Regla de la mano derecha para el producto vectorial