Física

Campo Gravitatorio

Leyes de Kepler, gravitación universal, intensidad del campo, energía y potencial gravitatorio, y satélites.

1ª Ley de Kepler. Ley de las órbitas:
Los planetas giran alrededor del Sol siguiendo una trayectoria elíptica. El Sol se sitúa en uno de los focos de la elipse.
Primera y segunda ley de Kepler
2ª Ley de Kepler. Ley de las Áreas:
La recta que une el planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Dados dos puntos cualesquiera de la órbita:
r1⋅v1⋅sen θ1=r2⋅v2⋅sen θ2r_1 \cdot v_1 \cdot \text{sen } \theta_1 = r_2 \cdot v_2 \cdot \text{sen } \theta_2
En el perihelio y el afelio se cumple  heta1= heta2=90∘\ heta_1 = \ heta_2 = 90^\circ
rp⋅vp=ra⋅var_p \cdot v_p = r_a \cdot v_a
3ª Ley de Kepler. Ley de los Periodos:
Para un planeta dado, el cuadrado de su periodo orbital es proporcional al cubo de su distancia media al Sol.
T2=k⋅r3conk=4π2GMsolT^2 = k \cdot r^3 \quad \text{con} \quad k = \frac{4\pi^2}{G M_{sol}}
Siendo: r: distancia media al sol, coincide con el semieje mayor de la elipse
Todo cuerpo material atrae a otro con una fuerza directamente proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros.
Fuerza gravitatoria entre dos masas
F⃗12=−Gm1⋅m2r2u⃗12(G=6,67⋅10−11N⋅m2Kg2)\vec{\text{F}}_{12} = -G \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} \vec{\text{u}}_{12} \quad \left( G = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{Kg}^2} \right)
Siendo u12⃗\vec{\text{u}_{12}} el vector unitario que une las masas 1 a 2, y GG, la Constante de Gravitación Universal.
La gravedad es una fuerza central y conservativa.
Una masa M crea a su alrededor un campo gravitatorio, sobre el que se define la intensidad de Campo g⃗\vec{\text{g}}, o simplemente Campo Gravitatorio, como la fuerza que actuaría sobre la unidad de masa que se situara en un punto dentro de ese campo.
g⃗=−GMr2u⃗en(NKg=ms2)\vec{\text{g}} = -G \frac{M}{r^2} \vec{\text{u}} \quad \text{en} \quad \left( \frac{\text{N}}{\text{Kg}} = \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \right)
Corresponde con la aceleración de la gravedad que sufriría un cuerpo en un punto dentro del campo.
El vector u⃗\vec{\text{u}} es un vector unitario desde la masa generadora hasta el punto donde se calcula la intensidad de campo.
Principio de superposición:
En un punto bajo la influencia de varios campos, el campo gravitatorio será el resultado de la suma vectorial de los campos generados por cada una de las masas.
g⃗T=g⃗1+g⃗2+g⃗3+…\vec{\text{g}}_T = \vec{\text{g}}_1 + \vec{\text{g}}_2 + \vec{\text{g}}_3 + \dots
Energía Potencial Gravitatoria
Energía potencial gravitatoria de una masa en un punto del espacio es el trabajo que realiza un campo gravitatorio para trasladar la masa desde dicho punto hasta el infinito. El origen de energía es aquel en que la fuerza es cero, es decir, el punto r=∞r = \infty, donde Ep=0E_p = 0
Ep=−GM⋅mrE_p = -G \frac{M \cdot m}{r}
Potencial Gravitatorio
Al campo gravitatorio se le puede asociar una magnitud escalar, potencial gravitatorio U en un punto, que se define como la energía potencial gravitatoria por unidad de masa colocada en ese punto:
U=Epmo bienU=−GMrU = \frac{E_p}{m} \quad \text{o bien} \quad U = -G \frac{M}{r}
Principio de superposición.
En una región del espacio que esté bajo la influencia de varios potenciales gravitatorios, el potencial total en ese punto es la suma de los potenciales individuales.
UT=U1+U2+U3+…U_T = U_1 + U_2 + U_3 + \dots
Trabajo realizado por un campo gravitatorio
El trabajo realizado por el campo para llevar una partícula desde el punto A al punto B, por ser el campo gravitatorio un campo conservativo, es la diferencia de energías potenciales en dichos puntos. Se puede expresar de diferentes formas:
WA−B=−ΔEp=−(EpB−EpA)W_{A-B} = -\Delta E_p = -(E_{p_B} - E_{p_A})
WA−B=G⋅M⋅m(1rB−1rA)W_{A-B} = G \cdot M \cdot m \left( \frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A} \right)
WA−B=m(UA−UB)W_{A-B} = m(U_A - U_B)
Velocidad de escape: es la velocidad vertical mínima que hay que imprimir a un cuerpo desde la superficie de un planeta de radio r, para que escape de la influencia de su campo gravitatorio.
ve=2GMrv_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}
Velocidad orbital: un satélite en su órbita equilibra las fuerzas de atracción gravitatoria y centrífuga:
GM⋅mr2=m⋅v2rG \frac{M \cdot m}{r^2} = \frac{m \cdot v^2}{r}
de donde:
v=GMrT=2πr3GMv = \sqrt{\frac{GM}{r}} \quad T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}
Siendo T el periodo de revolución del satélite.
Energía mecánica del movimiento orbital: es la suma de las energías cinética y potencial:
Em=−GM⋅mr+m⋅v22o bienEm=−GM⋅m2rE_m = -G \frac{M \cdot m}{r} + \frac{m \cdot v^2}{2} \quad \text{o bien} \quad E_m = -G \frac{M \cdot m}{2r}