Física

Fenómenos ondulatorios

Estudio de las ondas, parámetros característicos, ecuación de onda, doble periodicidad, energía e intensidad de ondas.

  • Onda: es la propagación de una perturbación a través del espacio con transporte de energía pero no de materia.
  • Ondas mecánicas: requieren de un medio para transmitirse.
  • Ondas electromagnéticas: no requieren de un medio.
  • Onda transversal: la dirección de la oscilación es transversal a la dirección de propagación. Ej.: vibración de una cuerda.
  • Onda longitudinal: la dirección de la oscilación es la misma que la dirección de propagación. Ej.: sonido.
  • Elongación (x o y): es la posición de la partícula respecto a la posición de equilibrio (respecto al centro de vibración). Se mide en m en el SI, y se representa por la letra x si la onda es longitudinal, o por la letra y si la onda es transversal. La elongación es función del tiempo en cada punto del espacio x(x, t) o y(x, t).
  • Amplitud (A): es la elongación máxima, es decir, la máxima separación respecto al punto de equilibrio de las partículas vibrantes. La representamos por la letra A y se mide también en m.
  • Periodo (T): es el tiempo que emplea la partícula en realizar una oscilación completa. (s)
  • Frecuencia (f): es el número de oscilaciones completas por unidad de tiempo. O la inversa del periodo. (Hz).
  • Frecuencia angular o pulsación (ω\omega): es la rapidez con que cambia el estado de movimiento de la partícula. (rad/s)
  • Longitud de onda (λ\lambda): Es la distancia entre dos puntos consecutivos en la misma fase. Se expresa en m.
  • Número de onda (k): Es el número de longitudes de onda que hay en una distancia de 2π2\pi m. Se mide en rad/m.
  • Velocidad de propagación (v): Es la velocidad con que avanza la perturbación por el medio. En m/s
f=1Tω=2πfv=λ⋅fk=2πλ=ωvf = \frac{1}{T} \quad \omega = 2\pi f \quad v = \lambda \cdot f \quad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{v}
La ecuación de una onda armónica, que avanza hacia la derecha (signo -) o izquierda (signo +), viene dada por:
y(x,t)=A⋅sen(ωt±kx+ϕ0)y(x, t) = A \cdot \text{sen}(\omega t \pm k x + \phi_0)
Siendo ω\omega la pulsación, k el número de onda y ϕ0\phi_0 el ángulo de fase inicial. La derivada temporal de esta expresión nos da la velocidad de vibración de cada punto x respecto a su posición de equilibrio.
v(x,t)=dydt=A⋅ω⋅cos⁡(ωt±kx+ϕ0)v(x,t) = \frac{dy}{dt} = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega t \pm k x + \phi_0)
La segunda derivada nos da la aceleración:
a(x,t)=dvdt=−A⋅ω2⋅sen(ωt±kx+ϕ0)=−ω2⋅y(x,t)a(x,t) = \frac{dv}{dt} = -A \cdot \omega^2 \cdot \text{sen}(\omega t \pm k x + \phi_0) = -\omega^2 \cdot y(x,t)

Doble periodicidad de las ondas

La ecuación de onda es una función en dos variables xx y tt, la posición y el tiempo, doblemente periódica.
  • Si fijamos una posición en el espacio, x0x_0, tenemos una función resultante en una variable, el tiempo tt de periodo T:
y(t)=A⋅sen(ωt±kx0)y(t) = A \cdot \text{sen}(\omega t \pm k x_0)
Periodo de la onda en el tiempo
  • Si fijamos un instante concreto, t0t_0, tenemos una función resultante en una variable, la posición xx:
y(x)=A⋅sen(ωt0±kx)y(x) = A \cdot \text{sen}(\omega t_0 \pm k x)
Longitud de onda en la posición
La energía que transporta una onda es directamente proporcional al cuadrado de la frecuencia y de la amplitud:
E=k⋅f2⋅A2E = k \cdot f^2 \cdot A^2
Se define intensidad como la energía que atraviesa una superficie por unidad de tiempo en (W/m²):
I=ES⋅t=PSPara una onda esfeˊrica I=P4⋅π⋅R2I = \frac{E}{S \cdot t} = \frac{P}{S} \quad \text{Para una onda esférica } I = \frac{P}{4 \cdot \pi \cdot R^2}
Onda esférica se propaga desde un foco F, emite una potencia P, las intensidades a distancias R1R_1 y R2R_2 cumplen:
I1⋅R12=I2⋅R22Y las amplitudes cumplen:A1⋅R1=A2⋅R2I_1 \cdot R_1^2 = I_2 \cdot R_2^2 \quad \text{Y las amplitudes cumplen:} \quad A_1 \cdot R_1 = A_2 \cdot R_2

Intensidad en ondas planas y lineales

Ondas circulares en el plano. (Ej. onda en un estanque). El frente de onda lo constituye una circunferencia de radio R, y perímetro 2πR2\pi R. La intensidad será:
I=P2⋅π⋅RI = \frac{P}{2 \cdot \pi \cdot R}
Las intensidades cumplen:
I1⋅R1=I2⋅R2I_1 \cdot R_1 = I_2 \cdot R_2
Y las amplitudes cumplen:
A1⋅R1=A2⋅R2A_1 \cdot \sqrt{R_1} = A_2 \cdot \sqrt{R_2}
Ondas lineales: (ej: la propagación en una cuerda). Las intensidades y amplitudes no dependen de la distancia, son constantes:
I1=I2A1=A2I_1 = I_2 \quad \quad A_1 = A_2
Es el fenómeno por el cual, al incidir una onda en la superficie de separación de dos medios, es devuelta al primero junto con una parte de la energía, y un cambio en la dirección de propagación, según las siguientes

Ley de Snell de la reflexión:
  • Los rayos incidente y reflejado, así como la normal, están en el mismo plano.
  • El ángulo de incidencia θi\theta_i y el reflejado θr\theta_r son iguales
θi=θr\theta_i = \theta_r
Reflexión de ondas
Es el cambio de dirección de una onda en la superficie de separación de dos medios por los que se propaga con diferente velocidad.

Índice de Refracción, n, de un medio es la relación entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en dicho medio:
n=cvn = \frac{c}{v}
Ley de Snell de la refracción:
  • Los rayos incidente, refractado y la normal, están en el mismo plano.
  • El cociente entre los senos de los ángulos de incidencia θ1\theta_1 y de refracción θ2\theta_2 es igual al cociente entre las velocidades de propagación
La 2ª ley de Snell la puede tomar las siguientes formas:
sen θ1sen θ2=v1v2;sen θ1sen θ2=λ1λ2;n1⋅sen θ1=n2⋅sen θ2\frac{\text{sen } \theta_1}{\text{sen } \theta_2} = \frac{v_1}{v_2} ; \quad \frac{\text{sen } \theta_1}{\text{sen } \theta_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} ; \quad n_1 \cdot \text{sen } \theta_1 = n_2 \cdot \text{sen } \theta_2
Refracción de ondas
Todo punto de un frente de onda se convierte en un centro puntual productor de ondas secundarias de igual velocidad y frecuencia que la inicial. La superficie envolvente de los frentes de onda secundarios constituye un nuevo frente de onda.
Principio de Huygens
Es la desviación en la propagación rectilínea de las ondas al atravesar una abertura o pasar próximas a un obstáculo.

a) Un frente de onda alcanza un obstáculo cuya abertura es mayor a la longitud de onda. Las ondas se propagan siguiendo la dirección rectilínea y la difracción no es apreciable.

b) El frente alcanza una abertura comparable a la longitud de onda λ\lambda. Se produce un efecto de difracción y cambian de dirección. Según el principio de Huygens: en este caso los puntos del frente de onda en la abertura se comportan como centros emisores de ondas cuya envolvente es el nuevo frente de ondas. La abertura actúa como un nuevo foco emisor de ondas.
Difracción de ondas