Física

Problemas de dinámica

Resolución de problemas de dinámica. Esquema de fuerzas, plano inclinado, cálculo de aceleraciones y fuerza normal en poleas y ascensores.

Para resolver un problema de dinámica general seguiremos los siguientes pasos:
1. Esquema de fuerzas:
Dibujamos las fuerzas que actúan en cada cuerpo del sistema siguiendo las siguientes reglas:
  • Cada masa tiene un peso P=mg
  • En cada superficie que apoya cada masa (suelo, otro cuerpo que empuja...etc.) hay una Normal, N
  • Si hay una cuerda tensa, aparece tensión, T.
  • En las superficies donde un cuerpo tiende a deslizarse sobre otro, o sobre el suelo hay una fuerza de rozamiento, Fr
2. Para cada masa planteamos la 2ª Ley de Newton. Si hay fuerzas en varios ejes plantearemos la 2ª Ley para cada eje, descomponiendo las fuerzas en los ejes elegidos:
{∑Fx=m1⋅a1x∑Fy=m1⋅a1y{∑Fx=m2⋅a2x∑Fy=m2⋅a2y…\begin{cases} \sum F_x = m_1 \cdot a_{1x} \\ \sum F_y = m_1 \cdot a_{1y} \end{cases} \quad \begin{cases} \sum F_x = m_2 \cdot a_{2x} \\ \sum F_y = m_2 \cdot a_{2y} \end{cases} \quad \dots
Hay que respetar el convenio de signos a la hora de sumar las fuerzas y aceleraciones
Convenio de signos
3. Obtenemos un sistema con suficientes ecuaciones. Al resolverlo obtenemos el resultado pedido
Calcular la aceleración del sistema, sabiendo que la fricción en el plano es de μ=0,2\mu=0,2, y el cuerpo tiene una masa de m=15kg
Enunciado plano inclinado
1. Esquema de fuerzas de cada cuerpo:
Dibujamos el cuerpo aislado y las fuerzas internas y externas que actúan. Tomamos como ejes de coordenadas el plano inclinado (eje X) y su perpendicular (eje Y).
Esquema de fuerzas plano inclinado
Descomponemos la fuerza P en sus componentes por trigonometría:
Px=P⋅sen 30∘Py=P⋅cos⁡30∘\begin{aligned} P_x &= P \cdot \text{sen } 30^\circ \\ P_y &= P \cdot \cos 30^\circ \end{aligned}
2. Planteamos las ecuaciones del sistema con la 2ª Ley de Newton. Una ecuación para cada eje
{∑Fx=m⋅ax∑Fy=m⋅ay⇒{Px−Fr=m⋅axN−Py=m⋅ay\begin{cases} \sum F_x = m \cdot a_x \\ \sum F_y = m \cdot a_y \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} P_x - Fr = m \cdot a_x \\ N - P_y = m \cdot a_y \end{cases}
Como no hay movimiento en Y, ay=0a_y = 0. El sistema queda
{P⋅sen 30∘−μ⋅N=m⋅axN−P⋅cos⁡30∘=0\begin{cases} P \cdot \text{sen } 30^\circ - \mu \cdot N = m \cdot a_x \\ N - P \cdot \cos 30^\circ = 0 \end{cases}
3. Aplicamos los datos del enunciado y resolvemos el sistema:
{73,5−0,2N=15axN−127,3=0⇒a=3,2 m/s2\begin{cases} 73,5 - 0,2N = 15a_x \\ N - 127,3 = 0 \end{cases} \Rightarrow \htmlClass{text-primary}{a = 3,2 \text{ m/s}^2}
Una persona de 70 kg se sube a una báscula dentro de un ascensor. Calcular el peso que marcará la báscula:
Enunciado ascensor
a) Cuando el ascensor sube con a=2 m/s2a=2\text{ m/s}^2 y
b) Cuando el ascensor baja con a=2 m/s2a=2\text{ m/s}^2
a) Planteamiento en la subida:
1. Esquema de fuerzas:
Esquema subida ascensor
2. Ecuación de la 2ª Ley de Newton:
N−P=m⋅aN - P = m \cdot a
La normal es la fuerza de reacción que la báscula ejerce sobre la persona, que será el peso que marque, entonces:
N=m(g+a)N = m(g + a)
3. Aplicamos los datos obtenemos: N=826 NN = 826\text{ N}
b) Planteamiento en la bajada:
1. Esquema de fuerzas: Es igual que en el caso anterior pero la aceleración es hacia abajo, que será negativa, a=−2 m/s2a=-2\text{ m/s}^2
Esquema bajada ascensor
2. Ecuación de la 2ª Ley de Newton: igual que la anterior
N=m(g+a)N = m(g + a)
3. Aplicamos los datos obtenemos: N=546 NN = 546\text{ N}
Un cuerpo en equilibrio dinámico, puede tener movimiento uniforme, pero no sufre aceleración, lo que implica que la resultante de fuerzas que actúan sobre él es 0. Esta es la 1ª condición de equilibrio
∑F=0\sum \mathbf{F} = 0
Tampoco puede girar, pues su aceleración centrípeta es 0, lo cual implica la 2ª condición de equilibrio:
∑M=0\sum \mathbf{M} = 0
En los problemas de equilibrio será necesario plantear una o ambas de estas condiciones de equilibrio
Enunciado equilibrio cuerdas
El cuerpo de masa m=20 kg de la figura se encuentra en equilibrio. Calcular las tensiones de las cuerdas
1. Esquema de fuerzas en el nudo:
Esquema fuerzas equilibrio cuerdas
2. Ecuaciones de equilibrio
∑F=0\sum \mathbf{F} = 0
{∑Fx=0∑Fy=0⇒{T2x−T1=0T2y−P=0\begin{cases} \sum F_x = 0 \\ \sum F_y = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} T_{2x} - T_1 = 0 \\ T_{2y} - P = 0 \end{cases}
Que podemos poner:
{T2⋅cos⁡60∘=T1T2⋅sen 60∘=m⋅g\begin{cases} T_2 \cdot \cos 60^\circ = T_1 \\ T_2 \cdot \text{sen } 60^\circ = m \cdot g \end{cases}
3. Aplicando datos obtenemos:
T2=m⋅gsen 60∘=226 NT1=T2⋅cos⁡60∘=113 N\begin{aligned} T_2 &= \frac{m \cdot g}{\text{sen } 60^\circ} = 226 \text{ N} \\ T_1 &= T_2 \cdot \cos 60^\circ = 113 \text{ N} \end{aligned}
Calcular la fuerza y el punto de aplicación, en la barra de 3m, para levantar en equilibrio los pesos de la figura:
Enunciado momentos barra
1. Esquema de fuerzas en la barra:
Esquema fuerzas momentos barra
2. Ecuaciones de equilibrio: tomamos como centro de giro el extremo izquierdo
∑F=0F−P1−P2=0\begin{aligned} \sum \mathbf{F} &= 0 \\ F - P_1 - P_2 &= 0 \end{aligned}
∑M=0F⋅x−P2⋅d=0\begin{aligned} \sum \mathbf{M} &= 0 \\ F \cdot x - P_2 \cdot d &= 0 \end{aligned}
3. Obtenemos un sistema con incógnitas F y x:
{F=P1+P2P2⋅d=F⋅x⇒{F=m1g+m2gm2g⋅d=(m1g+m2g)⋅x\begin{cases} F = P_1 + P_2 \\ P_2 \cdot d = F \cdot x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} F = m_1 g + m_2 g \\ m_2 g \cdot d = (m_1 g + m_2 g) \cdot x \end{cases}
Aplicando datos obtenemos:
F=686 Nx=0,85 m\begin{aligned} \htmlClass{text-primary}{F} &\htmlClass{text-primary}{= 686 \text{ N}} \\ \htmlClass{text-primary}{x} &\htmlClass{text-primary}{= 0,85 \text{ m}} \end{aligned}
Cuando un móvil describe un movimiento circular uniforme, hay una resultante de fuerzas que le ata al centro de la trayectoria. Esta es la fuerza centrípeta. Puede ser la tensión de una cuerda, el rozamiento de una carretera...etc.
FC=m⋅aC⇒FC=m⋅v2R⇒FC=mω2RF_C = m \cdot a_C \quad \Rightarrow \quad F_C = m \cdot \frac{v^2}{R} \quad \Rightarrow \quad F_C = m \omega^2 R
Sabiendo que la bola de masa m=8 kg, atada a una cuerda, describe un movimiento circular uniforme, en vertical, con una ω=3 rad/s\omega = 3 \text{ rad/s}. Calcular la tensión de la cuerda en los puntos A y B de la figura
Enunciado tensión cuerda vertical
Planteamiento en el punto A
1. Esquema de fuerzas en la bola:
La aceleración que sufre la masa es la aceleración normal, hacia el centro de la trayectoria.
Esquema fuerzas punto A
2. Ecuación de la 2ª Ley de Newton: solo eje Y.
Recordemos que an=v2R=ω2Ra_n = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R
P+T=m⋅anT=m⋅ω2R−m⋅g\begin{aligned} P + T &= m \cdot a_n \\ T &= m \cdot \omega^2 R - m \cdot g \end{aligned}
3. Aplicamos los datos del enunciado y resolvemos:
T=m(ω2R−g)=65,6 NT = m(\omega^2 R - g) = \htmlClass{text-primary}{65,6 \text{ N}}
Planteamiento en el punto B
1. Esquema de fuerzas de la bola:
En este caso la T y P son de sentidos contrarios.
Esquema fuerzas punto B
2. Ecuación de la 2ª Ley de Newton:
T−P=m⋅anT=m⋅ω2R+m⋅g\begin{aligned} T - P &= m \cdot a_n \\ T &= m \cdot \omega^2 R + m \cdot g \end{aligned}
3. Aplicamos los datos y resolvemos:
T=m(ω2R+g)=222,4 NT = m(\omega^2 R + g) = \htmlClass{text-primary}{222,4 \text{ N}}