Física

Óptica geométrica

Reflexión, refracción, ley de Snell, reflexión total interna, trazado de rayos y espejos planos.

Reflexión: al incidir una onda en la superficie de separación entre dos medios, es devuelta al primero junto con una parte de la energía, y un cambio en la dirección de propagación

Ley de Snell de la reflexión:
  • Los rayos incidente y reflejado, así como la normal, están en el mismo plano.
  • El ángulo de incidencia (i) y el ángulo de reflexión (r) son iguales.
Ley de Snell de la reflexión
Refracción: Consiste en el cambio de dirección de una onda en la superficie de separación entre dos medios distintos por los cuales se propaga con diferente velocidad. Se define el Índice de Refracción, nn, de un medio como la relación entre la velocidad de la luz en el vacío respecto y la velocidad de la luz en el medio considerado.
n=cvn = \frac{c}{v}
Ley de Snell de la refracción:
  • Los rayos incidente y refractado, así como la normal, están en el mismo plano.
  • El cociente entre los senos de los ángulos de incidencia  heta1\ heta_1 y de refracción  heta2\ heta_2 es igual al cociente entre las velocidades de propagación en los medios 1 y 2.
sen θ1sen θ2=v1v2\frac{\text{sen } \theta_1}{\text{sen } \theta_2} = \frac{v_1}{v_2}
Ley de Snell de la refracción
La ley de Snell también puede tomar las siguientes formas:
sen θ1sen θ2=λ1λ2;n1⋅sen θ1=n2⋅sen θ2\frac{\text{sen } \theta_1}{\text{sen } \theta_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} ; \quad n_1 \cdot \text{sen } \theta_1 = n_2 \cdot \text{sen } \theta_2
Reflexión total interna: Consideremos el caso de que el rayo parte del medio 2, siendo n2>n1n_2 > n_1, si aumentamos el ángulo de incidencia, también aumentará el de refracción, siendo el valor de este último mayor. Para un cierto ángulo de incidencia, llamado ángulo límite o crítico  hetaL\ heta_L, el ángulo de refracción vale 90º, dándose en este caso la llamada refracción rasante. Para ángulos de incidencia mayores que el ángulo límite  hetaL\ heta_L, la luz se refleja totalmente, fenómeno que se conoce como reflexión total interna.
Se halla el ángulo límite con  heta1=90∘\ heta_1=90^\circ en la 2ª ley de Snell:
θL=arcsen n1n2\theta_L = \text{arcsen } \frac{n_1}{n_2}
Reflexión total interna
Convenio de signos DIN:
  • Los rayos de luz y el objeto vienen de la izquierda.
  • El centro óptico es el cruce del eje con la vertical de la lente o espejo.
  • Las distancias a la derecha y hacia arriba del centro óptico son positivas. Al contrario son negativas.
Nomenclatura de símbolos DIN:
  • s: Distancia objeto
  • s': Distancia imagen
  • f: Foco objeto
  • f': Foco imagen
  • y: Altura objeto
  • y': Altura imagen
  • m: Aumento. Relación entre y e y'
  • n: Índice de refracción de la lente o dioptrio
  • R1: Radio curvatura de la superficie izquierda de la lente
  • R2: Radio curvatura de la superficie derecha de la lente
  • O: Centro óptico
Proceso de resolución de un problema.
  1. Dibujo de los elementos ópticos y posiciones. Colocamos los elementos característicos; eje, posición objeto, foco, lente, foco imagen, espejo o lente...etc., y sus símbolos. Los espejos y las lentes se pueden representar como un segmento perpendicular al eje.
  2. Trazado de rayos adecuado al elemento óptico de que se trate, como se describe en los puntos siguientes. Los rayos directos se dibujan con línea continua. Las prolongaciones de los rayos se dibujan con línea discontinua. De esta manera encontramos la posición aproximada de la imagen.
  3. Cálculo de magnitudes aplicando fórmulas adecuadas.
  4. Descripción del resultado. Hay que indicar las siguientes características de la imagen obtenida.
    1. Imagen Real / virtual: Si la imagen se forma en el cruce de los rayos trazados será real, se puede recoger en una pantalla. Si se forma en el cruce de las prolongaciones de los rayos será virtual.
    2. Imagen aumentada / reducida: Si la relación m=y′/ym = y'/y es mayor que 1, la imagen es aumentada. Si es menor, será reducida.
    3. Derecha / invertida: Si y′y' es + será derecha. Si es - será invertida.
Trazado de rayos ópticos
Trazado de rayos:
  • Rayo paralelo al eje: Su reflejo o prolongación pasa sobre sí mismo.
  • Rayo al centro: Se refleja en el mismo ángulo de incidencia.
  • Rayo de la base (opcional): desde la base del objeto hasta el punto donde incide el rayo paralelo. Su prolongación corta al eje en la base de la imagen del objeto.
Ecuaciones de los espejos planos:
s=−s′y=y′s = -s' \quad y = y'
Trazado en espejos planos
Trazado de rayos:
  • Rayo paralelo al eje: Su reflejo o prolongación pasa por el foco.
  • Rayo que pasa por el centro: Se refleja sobre sí mismo.
Trazado en espejos esféricos
Ecuaciones de los espejos esféricos:
1f=1s′+1sf=R2m=y′y=−s′s\frac{1}{f} = \frac{1}{s'} + \frac{1}{s} \quad f = \frac{R}{2} \quad m = \frac{y'}{y} = -\frac{s'}{s}
Espejo cóncavo: R<0;f<0R < 0 ; f < 0
Espejo convexo: R>0;f>0R > 0 ; f > 0
Trazado de rayos:
  • Rayo paralelo al eje: El rayo refractado o su prolongación pasa por el foco imagen.
  • Rayo que pasa por el centro: No se desvía.
  • Rayo que pasa por foco objeto: Se refracta paralelo al eje.
Trazado en dioptrio esférico
Ecuaciones de los dioptrios esféricos:
n′s′−ns=n′−nREc. Gauss f′s′+fs=1\frac{n'}{s'} - \frac{n}{s} = \frac{n' - n}{R} \quad \text{Ec. Gauss } \frac{f'}{s'} + \frac{f}{s} = 1
f=−Rnn′−nf′=Rn′n′−nf+f′=Rf = -R \frac{n}{n' - n} \quad f' = R \frac{n'}{n' - n} \quad f + f' = R
ff′=−nn′m=y′y=n⋅s′n′⋅s\frac{f}{f'} = -\frac{n}{n'} \quad m = \frac{y'}{y} = \frac{n \cdot s'}{n' \cdot s}
Trazado de rayos:
  • Rayo paralelo al eje: El rayo refractado o su prolongación pasa por el foco imagen.
  • Rayo que pasa por el centro: No se desvía.
  • Rayo que pasa por foco objeto: Se refracta paralelo al eje.
Trazado en lentes delgadas convergentes
Trazado en lentes delgadas divergentes
Ecuaciones de las lentes:
f=−f′f = -f'
Potencia: potencia de una lente en dioptrías (D=m⁻¹)
P=1f′P = \frac{1}{f'}
Ecuación de Gauss de las lentes delgadas:
1f′=1s′−1s\frac{1}{f'} = \frac{1}{s'} - \frac{1}{s}
Ecuación del constructor de lentes y distancia focal:
1f′=(n−1)(1R1−1R2)\frac{1}{f'} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)
Aumento:
m=y′y=s′sm = \frac{y'}{y} = \frac{s'}{s}
Lente convergente: f′>0f' > 0, lente divergente: f′<0f' < 0