Física

Movimiento armónico simple (M.A.S.)

Estudio de los osciladores armónicos, ecuaciones de posición, velocidad y aceleración, muelles y péndulos.

  • Elongación (x o y): es la posición de la partícula respecto a la posición de equilibrio (respecto al centro de la trayectoria). Se mide en m en el SI, y se representa por la letra x si el movimiento se realiza en horizontal, o por la letra y si se realiza en vertical. La elongación o posición es función del tiempo x(t) o y(t).
  • Amplitud (A): es la elongación máxima, o máxima separación desde la posición de equilibrio, o también la distancia del extremo de la trayectoria a su centro. Se representa por la letra A. Se mide en (m).
  • Periodo (T): es el tiempo que emplea la partícula en realizar una oscilación completa (s)
  • Frecuencia (f): es el número de oscilaciones completas por unidad de tiempo. O la inversa del periodo. (Hz) o (s-1).
  • Frecuencia angular o pulsación (ω\omega): es la rapidez con que cambia el estado de movimiento de la partícula. (rad/s)
Parámetros de las oscilaciones armónicas
f=1Tω=2πf=2πTf = \frac{1}{T} \quad \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}
  • Fase (φ\varphi): La fase del movimiento en cualquier instante. Corresponde con el valor φ=ω⋅t+φ0\varphi = \omega \cdot t + \varphi_0. Se trata del ángulo que representa el estado de vibración del cuerpo en un instante determinado. Tiene unidades de ángulo, en el Sistema Internacional es el radián (rad). Cuando se produce una oscilación completa, la fase aumenta en 2π2\pi radianes y el cuerpo vuelve a su posición (elongación) xx inicial, por ser cos⁡φ=cos⁡(φ+2π)\cos \varphi = \cos(\varphi + 2\pi)
  • Fase inicial (φ0\varphi_0): Se trata del ángulo que representa el estado inicial de vibración, es decir, la elongación xx del cuerpo en el instante t=0t= 0. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el radián (rad)
La posición de una partícula con movimiento armónico simple (m.a.s.), también denominada elongación, viene determinada por la distancia x a la posición de equilibrio. Se trata de una función sinusoidal (seno o coseno), que depende del tiempo x=f(t)x = f(t).
x(t)=A⋅sen(ω⋅t+φ0)ox(t)=A⋅cos⁡(ω⋅t+φ0)x(t) = A \cdot \text{sen}(\omega \cdot t + \varphi_0) \quad o \quad x(t) = A \cdot \cos(\omega \cdot t + \varphi_0)
Suponiendo una fase inicial igual a 0, φ0=0\varphi_0=0, y utilizando la forma del seno, la gráfica de la posición respecto al tiempo es la siguiente:
Gráfica posición vs tiempo
La velocidad instantánea de la partícula en cada instante viene dada por la derivada de la posición respecto al tiempo. Utilizando la expresión del seno para x(t):
v(t)=dxdt=A⋅ω⋅cos⁡(ω⋅t+φ0)v(t) = \frac{dx}{dt} = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t + \varphi_0)
El máximo de la velocidad es A⋅ωA \cdot \omega, con cos⁡(ω⋅t+φ0)=±1\cos(\omega \cdot t + \varphi_0) = \pm 1 cuando la partícula pasa por la posición de equilibrio.

La aceleración instantánea de la partícula en cada instante viene dada por la derivada de la velocidad:
a(t)=dvdt=−A⋅ω2⋅sen(ω⋅t+φ0)a(t) = \frac{dv}{dt} = -A \cdot \omega^2 \cdot \text{sen}(\omega \cdot t + \varphi_0)
El máximo de aceleración es A⋅ω2A \cdot \omega^2, con sen(ω⋅t+φ0)=±1\text{sen}(\omega \cdot t + \varphi_0) = \pm 1, cuando la partícula pasa por los extremos.

Relaciones entre la posición, velocidad y aceleración:
v=±ωA2−x2a=−ω2xv = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2} \quad \quad a = -\omega^2 x
Sistema masa muelle
El muelle elástico es un oscilador armónico. La fuerza que ejerce sobre la masa acoplada es proporcional al desplazamiento:
F=−k⋅xF = -k \cdot x
La pulsación y periodo de oscilación viene dado por:
ω2=kmT=2⋅πmk\omega^2 = \frac{k}{m} \quad \quad T = 2\cdot \pi \sqrt{\frac{m}{k}}
La energía potencial elástica acumulada por un muelle es:
Epx=12k⋅x2Ep_x = \frac{1}{2} k \cdot x^2
La energía mecánica del sistema es:
Em=Epx+Ec=12k⋅x2+12k⋅(A2−x2)=12k⋅A2Em = Ep_x + Ec = \frac{1}{2} k \cdot x^2 + \frac{1}{2} k \cdot (A^2 - x^2) = \frac{1}{2} k \cdot A^2
Péndulo simple
Un péndulo simple se comporta como un oscilador armónico cuando oscila con amplitudes pequeñas. La aceleración es proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario, con expresión:
a=−glxa = -\frac{g}{l} x
El periodo para oscilaciones pequeñas, depende unicamente de la longitud. No influye la masa del cuerpo que oscila ni la amplitud de la oscilación.
T=2πlgT = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}