Matemáticas

Análisis de funciones

Estudio completo de funciones: dominio, recorrido (imagen), continuidad, periodicidad y cálculo de simetrías pares e impares.

Dominio: es el conjunto de valores de xx para los que existe imagen de la función.
  • Funciones polinómicas: el dominio es todo R\mathbb{R}:
    f(x)=x2−2x+2  ⟹  Dom=R\displaystyle f(x) = x^2 - 2x + 2 \implies Dom = \mathbb{R}
  • Funciones racionales: el denominador no puede ser 0:
    f(x)=1x2−4  ⟹  Dom=R−{−2,2}\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \implies Dom = \mathbb{R} - \{-2, 2\}
  • Funciones irracionales: si la raíz es de índice par, el radicando debe ser mayor o igual que 0. Si la raíz es de índice impar, el dominio es todo R\mathbb{R}:
    f(x)=x−4  ⟹  x−4≥0  ⟹  Dom=[4,∞)\displaystyle f(x) = \sqrt{x - 4} \implies x - 4 \ge 0 \implies Dom = [4, \infty)
  • Funciones logarítmicas: el argumento debe ser estrictamente mayor que 0:
    f(x)=ln⁡(x−4)  ⟹  x−4>0  ⟹  Dom=(4,∞)\displaystyle f(x) = \ln(x - 4) \implies x - 4 > 0 \implies Dom = (4, \infty)
  • Funciones exponenciales: el dominio es todo R\mathbb{R}:
    f(x)=ex−2  ⟹  Dom=R\displaystyle f(x) = e^{x-2} \implies Dom = \mathbb{R}
  • Funciones seno y coseno: el dominio es todo R\mathbb{R}:
    f(x)=sen⁡x  ⟹  Dom=R\displaystyle f(x) = \operatorname{sen} x \implies Dom = \mathbb{R}
  • Función tangente: no está definida en los múltiplos impares de π/2\pi/2:
    f(x)=tg⁡x  ⟹  Dom=R−{π2+kπ}(k∈Z)\displaystyle f(x) = \operatorname{tg} x \implies Dom = \mathbb{R} - \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \right\} \quad (k \in \mathbb{Z})
Recorrido o imagen: es el conjunto de valores que toma la función en todo el dominio.
  • Si tenemos la expresión analítica de la función, y esta tiene inversa, el recorrido es el dominio de la inversa de la función.
  • Si tenemos la gráfica de la función, o podemos esbozarla, determinamos el recorrido proyectando sobre el eje yy.
Se dice que una función es continua en un punto x0x_0 si se cumplen las siguientes condiciones:
  • Existe imagen del punto x0x_0 (∃f(x0)\exists f(x_0))
  • Existe el límite cuando x→x0x \to x_0 y es finito:
    lim⁡x→x0−f(x)=lim⁡x→x0+f(x)=k\displaystyle \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = k
    El límite existe si los límites laterales coinciden.
  • Ambas condiciones coinciden, es decir:
    f(x0)=lim⁡x→x0−f(x)=lim⁡x→x0+f(x)\displaystyle f(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)
Decimos que una función es periódica cuando su forma se repite cada cierto intervalo llamado periodo. Ej.:
  • Función seno y coseno: el periodo es 2π2\pi
  • Función tangente: el periodo es π\pi
Simetría par
Simetría respecto al eje Y: comprobamos si cumple:
f(x)=f(−x)f(x) = f(-x)
Ejemplo: f(x)=x4−x2\displaystyle f(x) = x^4 - x^2
f(x)=x4−x2\displaystyle f(x) = x^4 - x^2
f(−x)=(−x)4−(−x)2=x4−x2\displaystyle f(-x) = (-x)^4 - (-x)^2 = x^4 - x^2

Tiene simetría par.
Gráfica de una función con simetría par (respecto al eje Y)
Simetría impar
Simetría respecto al centro O: comprobamos si cumple:
−f(x)=f(−x)-f(x) = f(-x)
Ejemplo: f(x)=x3−x\displaystyle f(x) = x^3 - x
−f(x)=−(x3−x)=−x3+x\displaystyle -f(x) = -(x^3 - x) = -x^3 + x
f(−x)=(−x)3−(−x)=−x3+x\displaystyle f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x

Tiene simetría impar.
Gráfica de una función con simetría impar (respecto al origen)
Puntos de corte con los ejes
  • Puntos de corte con el Eje Y: es el punto donde x=0x=0.
    Ej.: f(x)=x2−3x+2  ⟹  f(0)=2  ⟹  (0,2)\displaystyle f(x) = x^2 - 3x + 2 \implies f(0) = 2 \implies (0, 2)
  • Puntos de corte con el Eje X: los puntos donde y=0y=0.
    Ej.: f(x)=x2−3x+2  ⟹  x2−3x+2=0  ⟹  (1,0),(2,0)\displaystyle f(x) = x^2 - 3x + 2 \implies x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (1, 0), (2, 0)
Signo de la función
Estudiamos el signo de la función en los intervalos que determinan los puntos de corte con el eje xx y los puntos de discontinuidad (puntos de no existencia en el dominio).

Ej.: f(x)=x−1x2−4  ⟹  Dom=R−{−2,2}\displaystyle f(x) = \frac{x-1}{x^2-4} \implies Dom = \mathbb{R} - \{-2, 2\}
Corta en el eje xx en x=1x=1.
Intervalo(−∞,−2)(-\infty, -2)(−2,1)(-2, 1)(1,2)(1, 2)(2,∞)(2, \infty)
Signo de f(x)f(x)−-++−-++
Asíntotas Verticales
Se estudian los límites laterales en los puntos de no existencia o discontinuidad, y en los extremos del dominio:
lim⁡x→a−f(x)=±∞ylim⁡x→a+f(x)=±∞\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty
La asíntota vertical tiene la expresión x=ax=a.
Ejemplo: f(x)=2xx−2  ⟹  Dom=R−{2}\displaystyle f(x) = \frac{2x}{x-2} \implies Dom = \mathbb{R} - \{2\}
lim⁡x→2−2xx−2=−∞lim⁡x→2+2xx−2=+∞\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{2x}{x-2} = -\infty \quad \lim_{x \to 2^+} \frac{2x}{x-2} = +\infty

Asíntota: x=2x=2
Gráfica con asíntota vertical en x=2
Asíntotas Horizontales
Tendremos asíntotas horizontales cuando existen los límites infinitos de la función:
lim⁡x→±∞f(x)=k\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = k
En funciones racionales si grado num ≤\le grado denom.
La asíntota horizontal tiene la expresión y=ky=k.
Ejemplo: f(x)=2xx−2\displaystyle f(x) = \frac{2x}{x-2}
lim⁡x→−∞2xx−2=2lim⁡x→+∞2xx−2=2\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{x-2} = 2 \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x-2} = 2

Asíntota: y=2y=2
Gráfica con asíntota horizontal en y=2
Asíntotas Oblicuas
Habrá oblicuas cuando existe el siguiente límite:
lim⁡x→±∞f(x)x=m\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = m
En funciones racionales si grado num = grado denom + 1.
Tiene la expresión de una recta y=mx+ny = mx + n, dónde:
m=lim⁡x→±∞f(x)xn=lim⁡x→±∞(f(x)−mx)\displaystyle m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} \quad n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx)
Ejemplo: f(x)=x2−xx−3\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - x}{x - 3}
m=lim⁡x→±∞f(x)x=lim⁡x→±∞x2−xx2−3x=1\displaystyle m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - x}{x^2 - 3x} = 1
n=lim⁡x→±∞(f(x)−x)=lim⁡x→±∞x2−x−x2+3xx−3=2\displaystyle n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - x - x^2 + 3x}{x - 3} = 2

Asíntota: y=x+2y = x + 2
Gráfica con asíntota oblicua en y=x+2
Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir, si existe una asíntota de un tipo, no habrá del otro.
Ramas parabólicas
Habrá ramas parabólicas cuando:
lim⁡x→±∞f(x)x=∞\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \infty
Ejemplo: f(x)=x3−1\displaystyle f(x) = x^3 - 1
lim⁡x→±∞f(x)x=lim⁡x→±∞x3−1x=±∞\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - 1}{x} = \pm\infty
Gráfica con rama parabólica
Máximos y mínimos relativos
Se buscan los puntos donde la derivada se anula:
f′(x)=0\displaystyle f'(x) = 0
Las soluciones, x0x_0, son puntos candidatos a máximo y mínimo. Se comprueban con el criterio de la 2ª derivada:
Si f′′(x0)>0 es mıˊnimoSi f′′(x0)<0 es maˊximo\begin{aligned} \textit{Si } f''(x_0) > 0 & \textit{ es mínimo} \\ \textit{Si } f''(x_0) < 0 & \textit{ es máximo} \end{aligned}
Monotonía (Intervalos de crecimiento)
Estudiamos el signo de la 1ª derivada en los intervalos que determinan los puntos de máximo y mínimo y los puntos de discontinuidad (puntos de no existencia).
Si f′(x0)>0f'(x_0) > 0 es creciente. Si f′(x0)<0f'(x_0) < 0 es decreciente.

Ejemplo: f(x)=x2x2−1  ⟹  Dom=R−{−1,1}\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1} \implies Dom = \mathbb{R} - \{-1, 1\}
f′(x)=−2x(x2−1)2=0  ⟹  x=0  ⟹  punto crıˊtico en x=0\displaystyle f'(x) = \frac{-2x}{(x^2 - 1)^2} = 0 \implies x = 0 \implies \text{punto crítico en } x = 0
Intervalo(−∞,−1)(-\infty, -1)(−1,0)(-1, 0)(0,1)(0, 1)(1,∞)(1, \infty)
Signo de f′(x)f'(x)++++−-−-
Monotoníacrececrecedecrecedecrece
Puntos de inflexión
Se buscan los puntos donde la 2ª derivada se anula:
f′′(x)=0\displaystyle f''(x) = 0
Las soluciones son candidatos a puntos de inflexión. Se comprueban en la 3ª derivada:
Si f′′′(x0)≠0f'''(x_0) \neq 0 es punto de inflexión.
Curvatura
Estudiamos el signo de la 2ª derivada en los intervalos que determinan los puntos de inflexión y los puntos de discontinuidad (puntos de no existencia en el dominio).
Si f′′(x0)>0f''(x_0) > 0 es cóncava ∪\cup.
Si f′′(x0)<0f''(x_0) < 0 es convexa ∩\cap.

Ejemplo: f(x)=x3−x−1  ⟹  Dom=R\displaystyle f(x) = x^3 - x - 1 \implies Dom = \mathbb{R}
f′′(x)=6x=0  ⟹  x=0\displaystyle f''(x) = 6x = 0 \implies x = 0
f′′′(0)=6≠0  ⟹  es punto de inflexioˊn\displaystyle f'''(0) = 6 \neq 0 \implies \text{es punto de inflexión}
Intervalo(−∞,0)(-\infty, 0)(0,∞)(0, \infty)
Signo de f′′(x)f''(x)−-++
CurvaturaConvexa ∩\capCóncava ∪\cup
Si el criterio de la 2ª derivada no es concluyente, y x=ax=a es un punto que cumple:
f′(a)=0,  f′′(a)=0,…,f(n−1)(a)=0,  f(n)(a)≠0\displaystyle f'(a) = 0, \; f''(a) = 0, \dots, f^{(n-1)}(a) = 0, \; f^{(n)}(a) \neq 0
  • Si nn es par y f(n)(a)<0f^{(n)}(a) < 0, en x=ax=a hay un máximo.
  • Si nn es par y f(n)(a)>0f^{(n)}(a) > 0, en x=ax=a hay un mínimo.
  • Si nn es impar, en x=ax=a hay un punto de inflexión.