Matemáticas

Curvas cónicas

Circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. Ecuaciones generales y canónicas, cálculo de focos, vértices y asíntotas.

Es el lugar geométrico de los puntos P(x,y)P(x, y) que equidistan de un punto llamado centro C(cx,cy)C(c_x, c_y).
Circunferencia con centro en C y radio r
(x−cx)2+(y−cy)2=r2(x - c_x)^2 + (y - c_y)^2 = r^2
Ecuación general:
x2+y2+Ax+By+C=0x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0
(cx,cy)=(−A2,−B2)(c_x, c_y) = \left( -\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right)
r2=(A2)2+(B2)2−Cr^2 = \left( \frac{A}{2} \right)^2 + \left( \frac{B}{2} \right)^2 - C
Ecuación canónica de la circunferencia centrada en el origen C(0,0)C(0,0):
x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2
Potencia de un punto P(x0,y0)P(x_0, y_0) respecto a una circunferencia
Si dd es la distancia del punto al centro, la potencia es Pot=d2−r2Pot = d^2 - r^2.
O bien evaluando el punto en la ecuación general:
Pot=x02+y02+Ax0+By0+CPot = x_0^2 + y_0^2 + A x_0 + B y_0 + C
  • Si Pot>0Pot > 0, el punto es exterior a la circunferencia.
  • Si Pot=0Pot = 0, el punto pertenece a la circunferencia.
  • Si Pot<0Pot < 0, el punto es interior a la circunferencia.
Posición relativa de una recta y una circunferencia
Se plantea el sistema de ecuaciones entre ambas:
{x2+y2+Ax+By+C=0y=mx+n\begin{cases} x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \\ y = mx + n \end{cases}
  • 1 solución, la recta es tangente.
  • 2 soluciones, la recta es secante.
  • Si es incompatible (0 sol.), la recta es exterior.
Tangente y normal a la circunferencia en un punto (x0,y0)(x_0, y_0)
Recta tangente y recta normal a la circunferencia en un punto
La tangente es perpendicular al radio:
y−y0=−x0−cxy0−cy(x−x0)y - y_0 = -\frac{x_0 - c_x}{y_0 - c_y}(x - x_0)

La normal es paralela al radio:
y−y0=y0−cyx0−cx(x−x0)y - y_0 = \frac{y_0 - c_y}{x_0 - c_x}(x - x_0)
Es el lugar geométrico de los puntos P(x,y)P(x,y) cuya suma de distancias a dos puntos fijos (llamados focos) es constante: PF+PF′=2aPF + PF' = 2a
Elementos de la elipse: focos, semiejes y distancia focal
  • aa: semieje mayor
  • bb: semieje menor
  • cc: semidistancia focal
a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2
Excentricidad: e=ca\quad e = \frac{c}{a}
Ecuación general: Ax2+By2+Cx+Dy+E=0Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0 \quad (con A y B del mismo signo)
Ecuación de la elipse centrada en el origen (0,0)(0,0)
Elipse Horizontal
Elipse Vertical
Elipse horizontal centrada en el origen
Elipse vertical centrada en el origen
x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
x2b2+y2a2=1\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1
Ecuación de la elipse centrada en un punto C(cx,cy)C(c_x, c_y)
Horizontal

(x−cx)2a2+(y−cy)2b2=1\frac{(x - c_x)^2}{a^2} + \frac{(y - c_y)^2}{b^2} = 1
Vertical

(x−cx)2b2+(y−cy)2a2=1\frac{(x - c_x)^2}{b^2} + \frac{(y - c_y)^2}{a^2} = 1
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo FF (foco), y una recta fija dd (directriz).
Elementos de la parábola: foco, directriz y vértice
Con pp distancia foco-vértice o vértice-directriz:
p=d(F,V)=d(V,d)p = d(F, V) = d(V, d)

Ecuación general:
Ax2+By2+Cx+Dy+E=0Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0
(donde A = 0 ó B = 0)
Ecuación de la parábola con vértice en (vx,vy)(v_x, v_y)
Parábola abierta hacia arriba
Abierta hacia arriba
(x−vx)2=4p(y−vy)(x - v_x)^2 = 4p(y - v_y)
Foco: (vx,vy+p)(v_x, v_y + p)
Directriz: y=vy−py = v_y - p
Parábola abierta hacia la derecha
Abierta hacia la derecha
(y−vy)2=4p(x−vx)(y - v_y)^2 = 4p(x - v_x)
Foco: (vx+p,vy)(v_x + p, v_y)
Directriz: x=vx−px = v_x - p
Parábola abierta hacia abajo
Abierta hacia abajo
(x−vx)2=−4p(y−vy)(x - v_x)^2 = -4p(y - v_y)
Foco: (vx,vy−p)(v_x, v_y - p)
Directriz: y=vy+py = v_y + p
Parábola abierta hacia la izquierda
Abierta hacia la izquierda
(y−vy)2=−4p(x−vx)(y - v_y)^2 = -4p(x - v_x)
Foco: (vx−p,vy)(v_x - p, v_y)
Directriz: x=vx+px = v_x + p
Es el lugar geométrico de los puntos P(x,y)P(x,y) cuya diferencia de distancias a dos focos fijos es constante: PF−PF′=2aPF - PF' = 2a
Elementos de la hipérbola: semiejes, focos y asíntotas
  • aa: semieje mayor (real)
  • bb: semieje menor (imaginario)
  • cc: semidistancia focal
c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2
Excentricidad: e=ca\quad e = \frac{c}{a}
Ecuación general: Ax2+By2+Cx+Dy+E=0Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0 \quad (con A y B de distinto signo)
Ecuación de la hipérbola centrada en el origen (0,0)(0,0)
Eje real horizontal
Eje real vertical
Hipérbola horizontal centrada en el origen
Hipérbola vertical centrada en el origen
x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

Asíntotas: y=±baxy = \pm \frac{b}{a}x
y2a2−x2b2=1\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1

Asíntotas: y=±abxy = \pm \frac{a}{b}x
Ecuación Hipérbola equilátera (a=ba = b):
x2−y2=a2x^2 - y^2 = a^2