Matemáticas

Probabilidad

Definición y leyes de la probabilidad. Tipos de sucesos, probabilidad condicionada, teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes.

Definición de probabilidad. Ley de Laplace
P(A)=Nuˊmero de casos favorables de ANuˊmero de casos posiblesP(A) = \frac{\text{Número de casos favorables de A}}{\text{Número de casos posibles}}
Propiedades:
0≤P(A)≤1P(E)=1P(∅)=0P(Aˉ)=1−P(A)\begin{aligned} & 0 \le P(A) \le 1 \quad & P(E) = 1 \\ & P(\emptyset) = 0 \quad & P(\bar{A}) = 1 - P(A) \end{aligned}
Probabilidad de la unión:
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
Probabilidad de la diferencia:
P(A−B)=P(A∩Bˉ)=P(A)−P(A∩B)P(A - B) = P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)
Leyes de Morgan de la probabilidad:
P(A∩B‾)=P(Aˉ∪Bˉ)=1−P(A∩B)P(A∪B‾)=P(Aˉ∩Bˉ)=1−P(A∪B)\begin{aligned} P(\overline{A \cap B}) &= P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 1 - P(A \cap B) \\ P(\overline{A \cup B}) &= P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B) \end{aligned}
Sucesos incompatibles: Comprobamos si dos sucesos A y B son incompatibles si verifican:
A∩B=∅P(A∪B)=P(A)+P(B)\begin{aligned} A \cap B &= \emptyset \\ P(A \cup B) &= P(A) + P(B) \end{aligned}
Sucesos independientes: Comprobamos si dos sucesos A y B son independientes si verifican:
P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
Si dos sucesos son incompatibles (no pueden ocurrir a la vez), NO pueden ser independientes.
Probabilidad condicionada:
P(A/B)=P(A∩B)P(B)P(B/A)=P(A∩B)P(A)P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad \quad P(B/A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}
Teorema de la probabilidad total: Sean (A1,A2,...,An)(A_1, A_2, ..., A_n) sucesos incompatibles dos a dos y cuya unión es el espacio muestral (E), entonces, la probabilidad de cualquier otro suceso B viene dada por:
P(B)=P(A1)⋅P(B/A1)+P(A2)⋅P(B/A2)+...+P(An)⋅P(B/An)P(B) = P(A_1) \cdot P(B/A_1) + P(A_2) \cdot P(B/A_2) + ... + P(A_n) \cdot P(B/A_n)
Ejemplo: De 60 alumnos de bachillerato, 25 son de 1º y 35 de 2º. Un 60% de los alumnos de 1º aprueban física, y un 75% de 2º. Un alumno escogido al azar ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe física?
Solución: Sean los sucesos:
  • A1\mathbf{A_1}: alumnos de primero, con P(A1)=25/60P(A_1) = 25/60
  • A2\mathbf{A_2}: alumnos de segundo, con P(A2)=35/60P(A_2) = 35/60
  • B\mathbf{B}: alumnos que aprueban física y P(B)\mathbf{P(B)} es lo que se pide:
P(B)=P(A1)⋅P(B/A1)+P(A2)⋅P(B/A2)P(B) = P(A_1) \cdot P(B/A_1) + P(A_2) \cdot P(B/A_2)
siendo
P(B/A1)P(B/A_1) Probabilidad de que apruebe física si es de 1º (0,6)(0,6)
P(B/A2)P(B/A_2) Probabilidad de que apruebe física si es de 2º (0,75)(0,75). Luego:
P(B)=2560⋅0,6+3560⋅0,75=0,6875P(B) = \frac{25}{60} \cdot 0,6 + \frac{35}{60} \cdot 0,75 = 0,6875
Teorema de Bayes, probabilidad a posteriori: Sean (A1,A2,...,An)(A_1, A_2, ..., A_n) incompatibles dos a dos y cuya unión es el espacio muestral, y sea B un suceso compatible con AiA_i. Entonces la probabilidad a posteriori, de que ocurra AiA_i habiendo ocurrido B será:
P(Ai/B)=P(Ai)⋅P(B/Ai)P(B)P(A_i/B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B/A_i)}{P(B)}