Matemáticas

Inferencia estadística

Técnicas de muestreo, distribuciones de medias y proporciones muestrales (TCL), e intervalos de confianza para estimación de parámetros.

Conceptos
  • Población: conjunto de elementos sobre los que se hace un determinado estudio. Su número se designa por N\mathbf{N}.
  • Muestra: cualquier subconjunto seleccionado de la población. Su número se designa por n\mathbf{n}.
  • Muestreo: el método seguido para seleccionar la muestra.
Muestreos probabilísticos
  • Muestreo aleatorio simple: se numera la población del 1 al NN, y se sortean nn números para la muestra.
  • Muestreo aleatorio sistemático: se elige al azar el primer número entre los kk primeros y los restantes de kk en kk, siendo k=N/nk = N/n.
  • Muestreo aleatorio estratificado: Se divide la población total en kk estratos de tamaño N1,N2,…,NkN_1, N_2, \dots, N_k. La muestra nn se selecciona siguiendo dos criterios:
    • Afijación uniforme: se seleccionan el mismo número de elementos de cada estrato igual a N/kN/k.
    • Afijación proporcional: el número de elementos de cada estrato es proporcional a su tamaño. Es un problema de repartos proporcionales.
Ejemplo: Se quiere seleccionar una muestra de 60 personas en 3 poblaciones de tamaño 1600, 1200 y 2400 personas. Calcula el muestreo con afijación proporcional.
El tamaño total de la población es N=5200N = 5200.
Pob. APob. BPob. C
Tamaño NiN_i160012002400
Fracción de pob.4/133/136/13
Tamaño de la muestra413⋅60=18\frac{4}{13} \cdot 60 = 18313⋅60≈14\frac{3}{13} \cdot 60 \approx 14613⋅60≈28\frac{6}{13} \cdot 60 \approx 28
Distribución de medias muestrales
Sea una población NN de media μ\mu y desviación típica σ\sigma. Se toman muestras de tamaño nn y media Xˉ\bar{X}. Sea la variable Xˉ\bar{X} que describe la distribución de las medias muestrales:
Teorema central del límite: La media de la variable Xˉ\bar{X} es igual a la media de la población μ\mu. La desviación típica de Xˉ\bar{X} es σ/n\sigma/\sqrt{n}, entonces la distribución de medias muestrales sigue una normal:
N(μ,σn)N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)
Distribución de proporciones muestrales
Sea una población NN binomial, con proporción pp de cierta característica. Se toman muestras de tamaño nn con proporción p^\hat{p} de dicha característica. Sea P^\hat{P} la variable que describe la distribución de proporciones muestrales:
Teorema central del límite: P^\hat{P} se aproxima a una distribución normal definida como:
N(p,p⋅qn)para n≥30N\left(p, \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}}\right) \quad \text{para } n \ge 30
Se trata de obtener un intervalo que incluya la media μ\mu de cierta variable XX que deseamos investigar en la población, con un nivel de confianza (1−α)(1-\alpha). El parámetro α\alpha recibe el nombre de nivel de significación y equivale a la probabilidad o riesgo de que el parámetro esté fuera del intervalo de confianza calculado.
Intervalos de confianza para la media
Intervalo de confianza poblacional μ\mu:
(xˉ−Zα/2⋅σn,  xˉ+Zα/2⋅σn)\left( \bar{x} - Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} , \; \bar{x} + Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)
Donde xˉ\bar{x} es la media de la muestra, σ\sigma es la desviación típica de la población, nn es el tamaño de la muestra y Zα/2Z_{\alpha/2} es el valor crítico obtenido de la tabla.
Error máximo cometido en la estimación será:
Emax⁡=Zα/2⋅σnE_{\max} = Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
El tamaño de la muestra mínimo en función del error máximo que se desee asumir es:
n=(Zα/2⋅σEmax⁡)2n = \left( Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{E_{\max}} \right)^2
Intervalos de confianza para la proporción
Intervalo de confianza poblacional pp:
(p^−Zα/2⋅p^⋅q^n,  p^+Zα/2⋅p^⋅q^n)\left( \hat{p} - Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} , \; \hat{p} + Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)
Donde p^\hat{p} es la proporción de la muestra (probabilidad de éxito), q^=1−p^\hat{q} = 1 - \hat{p} es la probabilidad de fracaso.
Error máximo cometido en la estimación será:
Emax⁡=Zα/2⋅p^⋅q^nE_{\max} = Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}
El tamaño de la muestra mínimo en función del error máximo que se desee asumir es:
n=(Zα/2⋅p^⋅q^Emax⁡)2n = \left( Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sqrt{\hat{p} \cdot \hat{q}}}{E_{\max}} \right)^2
Tabla para obtener el valor crítico Zα/2Z_{\alpha/2} en función del nivel de significación α\alpha deseado:
Tabla de Valores Críticos Z