Matemáticas

Sucesiones

Concepto de sucesión y término general. Estudio de la Progresión Aritmética y Geométrica, incluyendo fórmulas de sumas finitas e infinitas. Sucesiones especiales: Fibonacci y Armónica.

Una sucesión es una lista ordenada e infinita de números que siguen una regla o patrón. Los términos se denotan como {a1,a2,a3,…,an}\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\} donde el subíndice denota la posición que ocupa en la lista. Ejemplos:
{an}={1,3,5,7,… }{bn}={1,2,4,8,16,… }\begin{aligned} \{a_n\} &= \{1, 3, 5, 7, \dots\} \\ \{b_n\} &= \{1, 2, 4, 8, 16, \dots\} \end{aligned}
El término general, ana_n, de una sucesión es la regla o expresión matemática que permite calcular el valor de cualquier término conociendo su posición. Ejemplos:
{1,3,5,7,… }⇒an=2n−1{−1,2,−3,4,… }⇒bn=n(−1)n{3,3,3,3,… }⇒cn=3\begin{matrix} \{1, 3, 5, 7, \dots\} & \Rightarrow & a_n = 2n-1 \\ \{-1, 2, -3, 4, \dots\} & \Rightarrow & b_n = n(-1)^n \\ \{3, 3, 3, 3, \dots\} & \Rightarrow & c_n = 3 \end{matrix}
Una progresión aritmética es una sucesión, en la que partiendo de un elemento inicial a1a_1, cada elemento se obtiene sumando un número fijo dd al anterior. Ejemplo:
{1,3,5,7,… }cona1=1  ;d=2\{1, 3, 5, 7, \dots\} \qquad \text{con} \qquad a_1 = 1 \;; \quad d = 2
El término general de una progresión aritmética viene dado por:
an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d
La suma de los n primeros términos viene dada por:
Sn=n(a1+an)2S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}
Una progresión geométrica es una sucesión, en la que partiendo de un elemento inicial a1a_1, cada elemento se obtiene multiplicando al anterior por un número fijo rr, llamado razón. Ej.:
{1,2,4,8,… }cona1=1  ;r=2\{1, 2, 4, 8, \dots\} \qquad \text{con} \qquad a_1 = 1 \;; \quad r = 2
El término general viene dado por:
an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
La suma de los n primeros términos viene dada por:
Sn=a1(rn−1)r−1conr≠1S_n = \dfrac{a_1(r^n - 1)}{r - 1} \qquad \text{con} \qquad r \neq 1
El producto de los n primeros términos viene dado por:
Pn=±(a1⋅an)n=±a1n⋅rn(n−1)2P_n = \pm\sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n} = \pm a_1^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}}
Si −1<r<1-1 < r < 1, la progresión geométrica es convergente y podemos calcular la suma de sus infinitos términos:
S∞=a11−rS_\infty = \dfrac{a_1}{1 - r}
Sucesión de Fibonacci: partiendo de a1=1a_1 = 1 y a2=1a_2 = 1, cada término es la suma de los dos anteriores:
{1,1,2,3,5,8,13,… }\{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots\}
El término general es recursivo, pues es necesario conocer los términos anteriores al que queremos obtener:
an=an−1+an−2a_n = a_{n-1} + a_{n-2}
Existe una expresión que permite obtener cualquier término, llamada Fórmula de Binet:
an=15[(1+52)n−(1−52)n]a_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right]
Espiral Áurea de Fibonacci
Una sucesión armónica es aquella en la que cada término es el inverso multiplicativo (darle la vuelta a la fracción) de una progresión aritmética que no contenga el cero. Por ejemplo, dada una progresión aritmética:
{1,3,5,7,… }conan=2n−1\{1, 3, 5, 7, \dots\} \qquad \text{con} \qquad a_n = 2n-1
La sucesión armónica correspondiente es:
{1,13,15,17,… }conan=12n−1\left\{ 1, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{7}, \dots \right\} \qquad \text{con} \qquad a_n = \dfrac{1}{2n-1}
La Sucesión Armónica con nombre propio:
{1,12,13,14,… }conan=1n\left\{ 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \dots \right\} \qquad \text{con} \qquad a_n = \dfrac{1}{n}
Representa los armónicos de las ondas producidas en un instrumento musical. Por ejemplo, al pulsar la cuerda de una guitarra, no solo vibra la cuerda entera de un extremo a otro (produciendo el tono principal o la frecuencia fundamental). Al mismo tiempo, también está vibrando en mitades exactas, en tercios exactos, en cuartos exactos... Las longitudes de estas ondas secundarias que se forman en la cuerda siguen exactamente nuestra sucesión matemática. A estos sonidos secundarios más agudos que acompañan a la nota principal se les llama Armónicos.