Matemáticas

Polinomios y fracciones algebraicas

Monomios y polinomios, operaciones (valor numérico, suma, producto, división y Ruffini), identidades notables, Binomio de Newton, raíces, teoremas del resto y del factor, factorización y operaciones con fracciones algebraicas.

Monomio: es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Ejemplos:
  • 2x3y2  ;3x4  ;14x32x^3y^2\;; \quad 3x^4\;; \quad \dfrac{1}{4}x^3  son monomios
  • 2x34y2  ;3x−1  ;14x22x^{\frac{3}{4}}y^2\;; \quad 3x^{-1}\;; \quad \dfrac{1}{4x^2}  no son monomios
Polinomio: es la suma de varios monomios. Si son dos, se llama binomio. Ejemplos:
P(x,y)=2x3y2+3x4+14x3Q(x)=x3−2x2+3x+1P(x,y) = 2x^3y^2 + 3x^4 + \dfrac{1}{4}x^3 \qquad Q(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 1
Valor numérico: el valor numérico de un polinomio P(a), es el valor que resulta de sustituir la variable por a. Ej.:
P(x)=3x2−x+1P(x) = 3x^2 - x + 1
P(2)=3⋅22−2+1=11P(2) = 3 \cdot 2^2 - 2 + 1 = 11
Suma/resta de polinomios: se operan los monomios semejantes entre sí. Ej.:
(x2+2xy+3xy2+2y2)+(3x2−5xy+2xy2+y3)=\left(x^2 + 2xy + 3xy^2 + 2y^2\right) + \left(3x^2 - 5xy + 2xy^2 + y^3\right) =
=4x2−3xy+5xy2+2y2+y3= 4x^2 - 3xy + 5xy^2 + 2y^2 + y^3
Multiplicación:
(x2+2x)⋅(3x2−x+1)=\left(x^2 + 2x\right) \cdot \left(3x^2 - x + 1\right) =
=3x4−x3+x2+6x3−2x2+2x== 3x^4 - x^3 + x^2 + 6x^3 - 2x^2 + 2x =
=3x4+5x3−x2+2x= 3x^4 + 5x^3 - x^2 + 2x
División: ejemplo de división de polinomios:
P(x)Q(x)=4x4−2x3+5x2+1x2−x+1\dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{4x^4 - 2x^3 + 5x^2 + 1}{x^2 - x + 1}
Desarrollo de la división de 4x⁴−2x³+5x²+1 entre x²−x+1, cociente 4x²+2x+3 y resto x−2
Se puede poner:
4x4−2x3+5x2+1x2−x+1=4x2+2x+3+x−2x2−x+1\dfrac{4x^4 - 2x^3 + 5x^2 + 1}{x^2 - x + 1} = 4x^2 + 2x + 3 + \dfrac{x-2}{x^2 - x + 1}
División por Ruffini: si el divisor es del tipo (x−a) se puede realizar la división utilizando la regla de Ruffini. Ej.:
P(x)Q(x)=4x4−4x3+2x2+1x−2\dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{4x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 1}{x - 2}
4−4201288204044102041\begin{array}{r|rrrrr} & 4 & -4 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & & 8 & 8 & 20 & 40 \\ \hline & 4 & 4 & 10 & 20 & 41 \end{array}
4x4−4x3+2x2+1x−2=4x3+4x2+10x+20+41x−2\dfrac{4x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 1}{x - 2} = 4x^3 + 4x^2 + 10x + 20 + \dfrac{41}{x-2}
(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(2x+3)2=4x2+12x+9(2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9
(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
(3−3x)2=9−18x+9x2(3-3x)^2 = 9 - 18x + 9x^2
(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2
(2+x)(2−x)=4−x2(2+x)(2-x) = 4 - x^2
Cálculo de la potencia de un binomio
(a+b)n=(n0)anb0+(n1)an−1b1+(n2)an−2b2+⋯+(nn)a0bn=∑k=0n(nk)an−kbk(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \dots + \binom{n}{n}a^0 b^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k
Ejemplo: Desarrollar (x+2y)3(x+2y)^3
(30)x3(2y)0+(31)x2(2y)1+(32)x1(2y)2+(33)x0(2y)3=\binom{3}{0}x^3(2y)^0 + \binom{3}{1}x^2(2y)^1 + \binom{3}{2}x^1(2y)^2 + \binom{3}{3}x^0(2y)^3 =
=x3+6x2y+12xy2+8y3= x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3
Triángulo de Pascal, o Triángulo de Tartaglia.
Permite calcular los coeficientes binomiales:
n=01n=111n=2121n=31331n=414641…\begin{matrix} \htmlClass{text-primary}{n=0} & & & & & 1 & & & & \\ \htmlClass{text-primary}{n=1} & & & & 1 & & 1 & & & \\ \htmlClass{text-primary}{n=2} & & & 1 & & 2 & & 1 & & \\ \htmlClass{text-primary}{n=3} & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & \\ \htmlClass{text-primary}{n=4} & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 \\ \htmlClass{text-primary}{\dots} & & & & & & & & & \end{matrix}
Raíz de un polinomio: a es raíz de un polinomio si se cumple P(a)=0, es decir, es una solución de la ecuación que resulta de igualar el polinomio a 0.
Las raíces de un polinomio se pueden hallar por Ruffini, por la fórmula de 2º grado…etc.
Ejemplo: hallar las raíces de P(x)=2x2−x−1P(x) = 2x^2 - x - 1
Igualamos a 0 y resolvemos:
2x2−x−1=02x^2 - x - 1 = 0
⇒x=1±1−4⋅2⋅(−1)4\Rightarrow \quad x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{4}
x=1;x=−12x = 1 \quad ; \quad x = -\dfrac{1}{2}
Un polinomio de grado n tiene n raíces que pueden ser reales o complejas.
El resto de dividir un polinomio P(x) por otro de la forma (x−a) coincide con el valor de P(a).
Ejemplo: hallar m para que P(x)=2x2−mx−6P(x) = 2x^2 - mx - 6 sea divisible por (x−3).
Si es divisible por (x−3), el resto de la división debe ser 0, entonces, por el teorema del resto
P(3)=2⋅32−m⋅3−6=0P(3) = 2 \cdot 3^2 - m \cdot 3 - 6 = 0
de donde m = 4
Si a es una raíz del polinomio P(x), entonces P(x) es divisible entre (x−a), o dicho de otra forma, P(x) tiene un factor (x−a).
Extraer factor común: Ej.:
P(x)=2x3−2x2−4x=2x(x2−x−2)P(x) = 2x^3 - 2x^2 - 4x = 2x\left(x^2 - x - 2\right)
Por Ruffini: Hallamos las raíces por la regla de Ruffini. Ej.:
P(x)=2x2−2x−4P(x) = 2x^2 - 2x - 4
2−2−424422022−1−220\begin{array}{r|rrr} & 2 & -2 & -4 \\ 2 & & 4 & 4 \\ \hline & 2 & 2 & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{r|rr} & 2 & 2 \\ -1 & & -2 \\ \hline & 2 & 0 \end{array}
Las raíces son x=2 y x=−1, entonces
P(x)=2(x−2)(x+1)P(x) = 2(x-2)(x+1)
Fórmula de 2º grado: los polinomios de segundo grado del tipo P(x)=Ax2+Bx+CP(x) = Ax^2 + Bx + C se pueden factorizar en la forma P(x)=A(x−a)(x−b)P(x) = A(x-a)(x-b) siendo a y b las raíces, que se obtienen aplicando la fórmula de 2º grado, y A el coeficiente de 2º grado. Ej.:
P(x)=3x2+12x−15P(x) = 3x^2 + 12x - 15
x=−12±144−4⋅3⋅(−15)6=−12±186x=−5  ;x=1x = \dfrac{-12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot (-15)}}{6} = \dfrac{-12 \pm 18}{6} \quad x = -5\;; \quad x = 1
P(x)=3(x+5)(x−1)P(x) = 3(x+5)(x-1)
Igualdades notables: Ej.:
P(x)=4x2+12x+9=(2x+3)2P(x) = 4x^2 + 12x + 9 = (2x+3)^2
Q(x)=x2−x+14=(x−12)2Q(x) = x^2 - x + \dfrac{1}{4} = \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2
R(x)=9x2y2−4=(3xy−2)(3xy+2)R(x) = 9x^2y^2 - 4 = (3xy-2)(3xy+2)
Simplificación de fracciones algebraicas: se factorizan el numerador y denominador. Los factores iguales se simplifican. Ej.:
2x3+2x2−4xx3−x=2x(x−1)(x+2)x(x−1)(x+1)=2(x+2)x+1\dfrac{2x^3 + 2x^2 - 4x}{x^3 - x} = \dfrac{2x(x-1)(x+2)}{x(x-1)(x+1)} = \dfrac{2(x+2)}{x+1}
Suma/resta de fracciones algebraicas: se factorizan los denominadores y se ponen en común denominador. Después se opera la expresión en el numerador. La fracción resultante se simplifica si es posible. Ej.:
2x−1+x+1x2−1=2x−1+x+1(x−1)(x+1)=2(x+1)+x+1(x−1)(x+1)\dfrac{2}{x-1} + \dfrac{x+1}{x^2-1} = \dfrac{2}{x-1} + \dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{2(x+1)+x+1}{(x-1)(x+1)}
=3x+3(x−1)(x+1)=3(x+1)(x−1)(x+1)=3x−1= \dfrac{3x+3}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{3}{x-1}
Multiplicación: se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador y se simplifica la fracción resultante. Es conveniente factorizar previamente:
2x2+x−2⋅x2−12x+2=2(x−1)(x+2)⋅(x−1)(x+1)2(x+1)\dfrac{2}{x^2+x-2} \cdot \dfrac{x^2-1}{2x+2} = \dfrac{2}{(x-1)(x+2)} \cdot \dfrac{(x-1)(x+1)}{2(x+1)}
=2(x−1)(x+1)(x−1)(x+2)⋅2(x+1)=1x+2= \dfrac{2(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+2) \cdot 2(x+1)} = \dfrac{1}{x+2}
División: se factoriza numerador y denominador. Se multiplica en cruz y se simplifica:
2x+2x2+x−2÷4x+43x−3=2(x+1)(x−1)(x+2)÷4(x+1)3(x−1)\dfrac{2x+2}{x^2+x-2} \div \dfrac{4x+4}{3x-3} = \dfrac{2(x+1)}{(x-1)(x+2)} \div \dfrac{4(x+1)}{3(x-1)}
=2(x+1)⋅3(x−1)(x−1)(x+2)⋅4(x+1)=32(x+2)= \dfrac{2(x+1) \cdot 3(x-1)}{(x-1)(x+2) \cdot 4(x+1)} = \dfrac{3}{2(x+2)}
Es el proceso inverso de la suma de fracciones algebraicas. Se trata de transformar una fracción algebraica en la suma de otras más sencillas. El primer paso es obtener las raíces y factorizar el denominador. Para cada factor obtenido tendremos las correspondientes fracciones como se indica a continuación
1. Para cada raíz real sencilla, con factor (x−a)(x-a) tendremos un término del tipo Ax−a\dfrac{A}{x-a}
2. Para cada raíz real múltiple, con factor (x−b)n(x-b)^n tendremos n términos:
B1x−b+B2(x−b)2+…+Bn(x−b)n\dfrac{B_1}{x-b} + \dfrac{B_2}{(x-b)^2} + \ldots + \dfrac{B_n}{(x-b)^n}
3. Para cada factor cuadrático irreductible (ax2+bx+c)(ax^2+bx+c) tendremos un término del tipo Cx+Dax2+bx+c\dfrac{Cx+D}{ax^2+bx+c}
Ejemplo:
7x+1x3+x2−x−1=7x+1(x−1)(x+1)2=Ax−1+Bx+1+C(x+1)2\dfrac{7x+1}{x^3+x^2-x-1} = \dfrac{7x+1}{(x-1)(x+1)^2} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+1} + \dfrac{C}{(x+1)^2}
Para determinar las incógnitas A, B y C debemos igualar los numeradores de ambos términos:
7x+1=A(x+1)2+B(x+1)(x−1)+C(x−1)7x + 1 = A(x+1)^2 + B(x+1)(x-1) + C(x-1)
Damos tantos valores arbitrarios a x como incógnitas tenemos, para obtener otras tantas ecuaciones:
x=1⇒8=4A⇒A=2x=1 \Rightarrow 8 = 4A \Rightarrow A=2
x=−1⇒−6=−2C⇒C=3x=-1 \Rightarrow -6=-2C \Rightarrow C=3
x=0⇒1=A−B−C⇒B=−2x=0 \Rightarrow 1=A-B-C \Rightarrow B=-2
Obtenemos2x−1−2x+1+3(x+1)2\text{Obtenemos} \quad \dfrac{2}{x-1} - \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{3}{(x+1)^2}