Matemáticas

Potencias, radicales y logaritmos

Propiedades de potencias y radicales, operaciones con radicales (reducción, racionalización) y propiedades de los logaritmos con cambio de base.

Propiedades de las potencias
Propiedad
Ejemplo
1n=11^n = 1
13=11^3 = 1
a1=aa^1 = a
21=22^1 = 2
a0=1a^0 = 1
20=12^0 = 1
an⋅am=an+ma^n \cdot a^m = a^{n+m}
23⋅25=282^3 \cdot 2^5 = 2^8
(an)m=an⋅m\left(a^n\right)^m = a^{n \cdot m}
(23)5=215\left(2^3\right)^5 = 2^{15}
anm=a(nm)a^{n^m} = a^{\left(n^m\right)}
232=2(32)=292^{3^2} = 2^{\left(3^2\right)} = 2^9
a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^n}
2−3=1232^{-3} = \dfrac{1}{2^3}
anam=an−m\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}
2523=22\dfrac{2^5}{2^3} = 2^2
(ab)n=anbn\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}
(23)5=2535\left(\dfrac{2}{3}\right)^5 = \dfrac{2^5}{3^5}
(ab)−n=(ba)n\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n
(23)−5=(32)5\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-5} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^5
Propiedades de los radicales
Propiedad
Ejemplo
1.a⋅bn=an⋅bn\mathbf{1.}\quad \sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}
6=2⋅3\sqrt{6} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}
2.abn=anbn\mathbf{2.}\quad \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}
233=2333\sqrt[3]{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}
3.(an)m=amn\mathbf{3.}\quad \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}
(33)4=343\left(\sqrt[3]{3}\right)^4 = \sqrt[3]{3^4}
4.amn=an⋅m\mathbf{4.}\quad \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}
53=56\sqrt{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[6]{5}
5.amn=am⋅kn⋅k\mathbf{5.}\quad \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot k]{a^{m \cdot k}}
53=564\sqrt{5^3} = \sqrt[4]{5^6}
6.amn=amn\mathbf{6.}\quad \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}
523=523\sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}}
Signo de un radical:
  • Si el índice es impar, el radical tiene el mismo signo que el radicando:
−83=−83=−283=83=2\sqrt[3]{-8} = -\sqrt[3]{8} = -2 \qquad \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{8} = 2
  • Si el índice es par y el radicando es positivo, tenemos dos soluciones; positiva y negativa.
164=±2\sqrt[4]{16} = \pm 2
  • Si el índice es par y el radicando es negativo, no hay solución en el conjunto de los reales.
−16∉R\sqrt{-16} \notin \mathbb{R}
Extracción de factores de un radical: Es necesario descomponer en factores primos el radicando. Ej.:
648.0003=26⋅34⋅533=22⋅3⋅5⋅33\sqrt[3]{648{.}000} = \sqrt[3]{2^6 \cdot 3^4 \cdot 5^3} = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sqrt[3]{3}
Reducción de radicales a índice común: El índice común es el m.c.m. de los índices. Utilizar prop. 5. Ej.:
323⋅5⋅74=3812⋅5612⋅7312=38⋅56⋅7312\sqrt[3]{3^2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{7} = \sqrt[12]{3^{8}} \cdot \sqrt[12]{5^{6}} \cdot \sqrt[12]{7^{3}} = \sqrt[12]{3^8 \cdot 5^6 \cdot 7^3}
Multiplicación y división de radicales: Se reducen a índice común y se utilizan las propiedades 1 y 2. Ej.:
323⋅5154=3812⋅561215312=38⋅5633⋅5312=35⋅5312\dfrac{\sqrt[3]{3^2} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt[4]{15}} = \dfrac{\sqrt[12]{3^8} \cdot \sqrt[12]{5^6}}{\sqrt[12]{15^3}} = \sqrt[12]{\dfrac{3^8 \cdot 5^6}{3^3 \cdot 5^3}} = \sqrt[12]{3^5 \cdot 5^3}
Suma y resta de radicales semejantes: Ej.:
27+48−34=33+43−123=1323\sqrt{27} + \sqrt{48} - \sqrt{\dfrac{3}{4}} = 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3} = \dfrac{13}{2}\sqrt{3}
Racionalización: Quitar raíces del denominador:
  • Si el denominador es una raíz cuadrada:
13=13⋅33=33\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}
  • Si el denominador es una raíz n-ésima:
1325=1325⋅335335=335355=3353\dfrac{1}{\sqrt[5]{3^2}} = \dfrac{1}{\sqrt[5]{3^2}} \cdot \dfrac{\sqrt[5]{3^3}}{\sqrt[5]{3^3}} = \dfrac{\sqrt[5]{3^3}}{\sqrt[5]{3^5}} = \dfrac{\sqrt[5]{3^3}}{3}
  • Si el denominador es un binomio:
1(5−3)=1(5−3)⋅(5+3)(5+3)=(5+3)(5)2−(3)2=(5+3)2\dfrac{1}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \dfrac{1}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})} \cdot \dfrac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \dfrac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2} = \dfrac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2}
Definición:
log⁡ba=x⇒bx=a\log_b a = x \Rightarrow b^x = a
Logaritmos especiales:
Logaritmo decimal
Logaritmo neperiano o natural
log⁡10a=log⁡a\log_{10} a = \log a
log⁡ea=ln⁡a\log_e a = \ln a
Cambio de base:
log⁡ca=log⁡balog⁡bc\log_c a = \dfrac{\log_b a}{\log_b c}
Propiedades de los logaritmos
Propiedad
Ejemplo
log⁡bb=1\log_b b = 1
log⁡22=1;log⁡10=1\log_2 2 = 1 \quad ; \quad \log 10 = 1
log⁡b1=0\log_b 1 = 0
log⁡1=0\log 1 = 0
log⁡a+log⁡b=log⁡(a⋅b)\log a + \log b = \log(a \cdot b)
log⁡2+log⁡3=log⁡(2⋅3)\log 2 + \log 3 = \log(2 \cdot 3)
log⁡a−log⁡b=log⁡ ⁣(ab)\log a - \log b = \log\!\left(\dfrac{a}{b}\right)
log⁡18−log⁡2=log⁡ ⁣(182)\log 18 - \log 2 = \log\!\left(\dfrac{18}{2}\right)
log⁡ab=b⋅log⁡a\log a^b = b \cdot \log a
log⁡23=3⋅log⁡2\log 2^3 = 3 \cdot \log 2
log⁡an=log⁡a1n=1n⋅log⁡a\log \sqrt[n]{a} = \log a^{\frac{1}{n}} = \dfrac{1}{n} \cdot \log a
log⁡3=log⁡312=12⋅log⁡3\log \sqrt{3} = \log 3^{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2} \cdot \log 3