Matemáticas

Distribución normal

Propiedades de la curva normal, tipificación de la variable Z, cálculo de probabilidades y uso de la tabla normal estándar.

Una variable aleatoria continua, X\mathbf{X}, que sigue una distribución normal de media μ\mathbf{\mu} y desviación típica σ\mathbf{\sigma}, y se designa por N(μ,σ)\mathbf{N(\mu, \sigma)}, tiene la forma:
f(x)=1σ2πe−12(x−μσ)2f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}
Tiene las siguientes propiedades:
  • El campo de existencia o dominio es todo R\mathbb{R}.
  • Es simétrica respecto a la media μ\mu.
  • Tiene un máximo en la media μ\mu.
  • Crece hasta la media μ\mu y decrece a partir de ella.
  • En los puntos μ−σ\mu - \sigma y μ+σ\mu + \sigma presenta puntos de inflexión.
  • El eje de abscisas es una asíntota de la curva.
  • El área encerrada por la función y el eje de abscisas es igual a 1.
  • Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x=μx = \mu, deja un área igual a 0.50.5 a la izquierda y otra igual a 0.50.5 a la derecha.
  • La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
  • Probabilidad de algunos intervalos:
P(μ−σ<X≤μ+σ)=0,6826=68,26%P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0,954=95,4%P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0,997=99,7%\begin{aligned} P(\mu - \sigma < X \le \mu + \sigma) &= 0{,}6826 = 68{,}26\% \\ P(\mu - 2\sigma < X \le \mu + 2\sigma) &= 0{,}954 = 95{,}4\% \\ P(\mu - 3\sigma < X \le \mu + 3\sigma) &= 0{,}997 = 99{,}7\% \end{aligned}
Campana de Gauss y propiedades de dispersion
Distribución normal estándar
En una distribución de media 0 y desviación típica 1. N(0,1)\mathbf{N(0, 1)}. Se utiliza la variable Z\mathbf{Z}.

Tipificación de una distribución normal: Para poder calcular probabilidades en una distribución no estándar, N(μ,σ)N(\mu, \sigma), de variable XX, debemos transformar la variable XX en otra variable que siga una distribución N(0,1)N(0, 1). Tipificación:
Z=X−μσZ = \frac{X - \mu}{\sigma}
Tabla Normal Estandar, N(0,1)
da la probabilidad de que la variable tipificada Z sea menor o igual que k0k_0, P(Z≤k0)P(Z \le k_0)

Otros casos
P(Z≤−k0)=1−P(Z≤k0)P(Z \le -k_0) = 1 - P(Z \le k_0)

P(Z≥k0)=1−P(Z≤k0)P(Z \ge k_0) = 1 - P(Z \le k_0)

P(Z≥−k0)=P(Z≤k0)P(Z \ge -k_0) = P(Z \le k_0)

P(k0≤Z≤k1)=P(Z≤k1)−P(Z≤k0)P(k_0 \le Z \le k_1) = P(Z \le k_1) - P(Z \le k_0)

P(−k0≤Z≤−k1)=P(Z≤k0)−P(Z≤k1)P(-k_0 \le Z \le -k_1) = P(Z \le k_0) - P(Z \le k_1)

P(−k0≤Z≤k1)=P(Z≤k1)−[1−P(Z≤k0)]P(-k_0 \le Z \le k_1) = P(Z \le k_1) - [1 - P(Z \le k_0)]

La siguiente tabla proporciona el área a la izquierda de un valor zz, es decir, el valor de P(Z≤z)P(Z \le z) para una variable aleatoria continua ZZ con distribución normal estándar N(0,1)N(0, 1).
Tabla de la Distribución Normal Estándar N(0,1)