Matemáticas

Funciones. Generalidades

Concepto de función, dominio y recorrido, simetrías, periodicidad, tasa de variación y composición de funciones.

Una función es una relación de xx en yy, que para cada valor de xx le hace corresponder un único valor de y=f(x)y=f(x).
Puede venir definida por una expresión analítica, una tabla de valores o una representación gráfica.
y=f(x)=x2−1y = f(x) = x^2 - 1
x2+y2=1x^2 + y^2 = 1
Gráfica de una parábola, indicando que es función
Gráfica de una circunferencia, indicando que no es función
Es función
No es función
Dominio: Es el conjunto de valores de xx que tienen imagen.
Dom(f)={x∈R;∃y=f(x)∈R}Dom(f) = \{x \in \mathbb{R} ; \exists y = f(x) \in \mathbb{R}\}
Ejemplo: Dom(f)=(−∞,1)∪[2,∞)Dom(f) = (-\infty, 1) \cup [2, \infty)
Gráfica mostrando el dominio de una función en el eje X
Recorrido o imagen: Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente yy en todo el dominio de valores de xx.
Ejemplo: Im(f)=(−∞,0)∪[1,∞)\text{Im}(f) = (-\infty, 0) \cup [1, \infty)
Gráfica mostrando el recorrido de una función en el eje Y
Simetrías:
Simetría Par
Cumple f(x)=f(−x)f(x) = f(-x)
Simetría Impar
Cumple f(x)=−f(−x)f(x) = -f(-x)
Gráfica con simetría par respecto al eje Y
Gráfica con simetría impar respecto al origen
Periodicidad: Si la función es periódica, es el intervalo de xx en el que se repiten los valores de la imagen.
Gráfica de una función periódica mostrando su periodo
Otras características importantes:
  • Puntos de corte:
    • Con el eje X: se hace y=0y=0 y se resuelve la ecuación (puede haber varios).
    • Con el eje Y: se hace x=0x=0 y se sustituye en la función (solo puede haber uno).
  • Signo de la función: detallan los intervalos de xx donde la imagen toma valores positivos o negativos.
  • Máximos y mínimos relativos: puntos donde la función forma figura de montaña o valle respectivamente.
  • Monotonía o crecimiento: intervalos de xx donde la función es creciente o decreciente.
  • Máximos y mínimos absolutos: puntos donde la función toma el valor más alto o más bajo en todo su dominio.
  • Acotación: una función está acotada si todos sus valores (su imagen) están comprendidos entre dos números reales, es decir, no tiende a infinito ni a menos infinito.
Nota: En el epígrafe Análisis de funciones se analiza con más detalle el estudio de las características de una función.
Gráfica de una función a trozos para analizar sus características
  • Dominio: Dom(f)=(−∞,2]∪(4,∞)Dom(f) = (-\infty, 2] \cup (4, \infty)
  • Recorrido: Im(f)=[−1,∞)\text{Im}(f) = [-1, \infty)
  • Simetrías: no tiene
  • Periodicidad: no tiene
  • Puntos de corte:
    • Eje Y: (0,0)(0, 0)
    • Eje X: (0,0),(10,0)(0, 0), (10, 0)
  • Intervalos de signo:
    • Positiva: (−∞,0)∪(0,2]∪(4,8]∪(10,∞)(-\infty, 0) \cup (0, 2] \cup (4, 8] \cup (10, \infty)
    • Negativa: (8,10)(8, 10)
  • Extremos relativos:
    • Máximo relativo: (6,3)(6, 3)
    • Mínimos relativos: (0,0),(9,−1)(0, 0), (9, -1)
  • Monotonía:
    • Creciente: (0,2)∪(4,6)∪(9,∞)(0, 2) \cup (4, 6) \cup (9, \infty)
    • Decreciente: (−∞,0)∪(6,9)(-\infty, 0) \cup (6, 9)
  • Extremos absolutos: Mínimo absoluto (9,−1)(9, -1). Máximo absoluto no tiene.
  • Acotación: no está acotada.
Hablamos de composición de funciones cuando sobre la imagen de una función actúa otra función. Se denota por y se lee "ff compuesta con gg":
g(f(x))=(g∘f)(x)g(f(x)) = (g \circ f)(x)
Para calcular la función ff compuesta con gg, en cada variable xx de la función gg, introducimos la expresión de la función ff.
Ejemplo:
g(x)=x2+2xg(x) = x^2 + 2x

f(x)=xf(x) = \sqrt{x}
(g∘f)(x)=(x)2+2(x)=x+2x(g \circ f)(x) = (\sqrt{x})^2 + 2(\sqrt{x}) = x + 2\sqrt{x}
Atención: La composición de funciones no es conmutativa.
(g∘f)(x)≠(f∘g)(x)(g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x)
La inversa de una función (denotada por f−1f^{-1}), si existe, se calcula siguiendo estos pasos:
  1. Intercambiamos xx por yy en la expresión analítica.
  2. Despejamos yy, que representará la función inversa.
  3. Comprobamos si la inversa es correcta. Se debe cumplir que:
(f∘f−1)(x)=(f−1∘f)(x)=x(f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f)(x) = x
Ejemplo: Inversa de y=f(x)=2x+1y = f(x) = 2x + 1
x=2y+1  ⟹  y=x−12=f−1(x)x = 2y + 1 \implies y = \frac{x - 1}{2} = f^{-1}(x)
Comprobamos:
(f−1∘f)(x)=(2x+1)−12=x(f^{-1} \circ f)(x) = \frac{(2x + 1) - 1}{2} = x