Matemáticas

Asíntotas

Cálculo y estudio de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, así como ramas parabólicas en funciones racionales.

Asíntotas Verticales: Se estudian los límites laterales en los puntos de discontinuidad, o no existencia, y en los extremos del dominio
lim⁡x→a−f(x)=±∞ylim⁡x→a+f(x)=±∞\lim_{x\to a^-} f(x) = \pm\infty \quad y \quad \lim_{x\to a^+} f(x) = \pm\infty
La asíntota vertical tiene la expresión x=ax = a
Ejemplo:
f(x)=2xx−2  ⟹  Dom=R−{2}f(x) = \frac{2x}{x-2} \implies Dom = \mathbb{R} - \{2\}
lim⁡x→2−2xx−2=−∞\displaystyle \lim_{x\to 2^-} \frac{2x}{x-2} = -\infty
lim⁡x→2+2xx−2=+∞\displaystyle \lim_{x\to 2^+} \frac{2x}{x-2} = +\infty
Asíntota: x=2x=2
Gráfica de una función con asíntota vertical en x=2
Asíntotas Horizontales: Tendremos asíntotas horizontales cuando existen los límites infinitos de la función:
lim⁡x→±∞f(x)=k\lim_{x\to \pm\infty} f(x) = k
En funciones racionales polinómicas tendremos asíntota horizontal si el grado del numerador es igual o menor que el grado del denominador.

La asíntota horizontal tiene la expresión y=ky = k
Ejemplo:
f(x)=2xx−2\displaystyle f(x) = \frac{2x}{x-2}
lim⁡x→+∞2xx−2=2\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{2x}{x-2} = 2
lim⁡x→−∞2xx−2=2\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{2x}{x-2} = 2
Asíntota: y=2y=2
Gráfica de una función con asíntota horizontal en y=2
Asíntotas Oblicuas: Tendremos asíntotas oblicuas cuando el siguiente límite es finito:
lim⁡x→±∞f(x)x=m\lim_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = m
En funciones racionales polinómicas tendremos asíntota oblicua si el grado del numerador es igual al grado del denominador + 1.

Tiene la expresión de una recta: y=mx+ny = mx + n, donde:
m=lim⁡x→±∞f(x)xm = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}
n=lim⁡x→±∞(f(x)−mx)n = \lim_{x\to \pm\infty} (f(x) - mx)
Ejemplo:
f(x)=x2−xx−3\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - x}{x - 3}
m=lim⁡x→±∞f(x)x=lim⁡x→±∞x2−xx2−3x=1\displaystyle m = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{x^2 - x}{x^2 - 3x} = 1
n=lim⁡x→±∞(f(x)−x)=lim⁡x→±∞x2−x−x2+3xx−3=2\displaystyle n = \lim_{x\to \pm\infty} (f(x) - x) = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{x^2 - x - x^2 + 3x}{x - 3} = 2
Asíntota: y=x+2y = x + 2
Gráfica de una función con asíntota oblicua en y=x+2
Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir, si existe una asíntota de un tipo, no habrá del otro.
Ramas parabólicas: Tendremos ramas parabólicas cuando:
lim⁡x→±∞f(x)x=±∞\lim_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \pm\infty
Ejemplo:
f(x)=x3−1\displaystyle f(x) = x^3 - 1
lim⁡x→±∞f(x)x=lim⁡x→±∞x3−1x=∞\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{x^3 - 1}{x} = \infty
Gráfica de una función con rama parabólica
En una función racional polinómica es fácil determinar qué tipo de asíntotas va a tener con solo inspeccionar el dominio de la función y los grados de los polinomios del numerador y denominador.

Por un lado, los puntos de no existencia, o puntos que anulan el denominador, son puntos de asíntota vertical.

Por otro lado, las asíntotas horizontales y oblicuas siguen el siguiente criterio:
  • Si grado numerador < grado denominador, hay asíntota horizontal en y=0y=0
  • Si grado numerador = grado denominador, hay asíntota horizontal en y=ky=k, que se determina en el límite infinito como se ha visto antes:
    lim⁡x→±∞f(x)=k\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty} f(x) = k
  • Si grado numerador = grado denominador + 1, hay asíntota oblicua
  • Si grado numerador > grado denominador + 1, no hay asíntota horizontal ni oblicua. Habrá rama parabólica.