Matemáticas

Posiciones relativas en ℝ³

Estudio de las posiciones relativas entre puntos, rectas y planos en el espacio tridimensional utilizando el rango de matrices.

  • Punto y recta: Un punto está contenido en una recta si verifica su ecuación, si no, es exterior.

  • Punto y plano: Un punto está contenido en un plano si verifica su ecuación, si no, es exterior.

  • 3 puntos A, B, C alineados: Si los vectores AB⃗\vec{AB}, y AC⃗\vec{AC} son proporcionales:
AB⃗=k⋅AC⃗\vec{AB} = k \cdot \vec{AC}
  • Cuatro puntos A, B, C, D, coplanarios: Los vectores AB⃗\vec{AB}, AC⃗\vec{AC} y AD⃗\vec{AD} son linealmente dependientes, es decir el determinante formado por los 3 es nulo.
Dada la recta rr: de vector director u⃗\vec{u} y punto AA y la recta ss: de vector director v⃗\vec{v} y punto BB. Sean las matrices:
M=(uxuyuzvxvyvz)M∗=(uxuyuzvxvyvzbx−axby−aybz−az)M = \begin{pmatrix} u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{pmatrix} \quad M^* = \begin{pmatrix} u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ b_x - a_x & b_y - a_y & b_z - a_z \end{pmatrix}
  • Si Rg M=Rg M∗=1\text{Rg } M = \text{Rg } M^* = 1 son rectas coincidentes.
  • Si Rg M=1\text{Rg } M = 1 y Rg M∗=2\text{Rg } M^* = 2 son rectas paralelas.
  • Si Rg M=Rg M∗=2\text{Rg } M = \text{Rg } M^* = 2 son rectas secantes.
  • Si Rg M=2\text{Rg } M = 2 y Rg M∗=3\text{Rg } M^* = 3 las rectas se cruzan.
Dada la recta rr en forma implícita:
{A1x+B1y+C1z=D1A2x+B2y+C2z=D2\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z = D_1 \\ A_2x + B_2y + C_2z = D_2 \end{cases}
Y el plano π\pi en forma implícita:
A3x+B3y+C3z=D3A_3x + B_3y + C_3z = D_3
Sean las matrices:
M=(A1B1C1A2B2C2A3B3C3)M∗=(A1B1C1D1A2B2C2D2A3B3C3D3)M = \begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{pmatrix} \quad M^* = \begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 & D_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 & D_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 & D_3 \end{pmatrix}
  • Si Rg M=Rg M∗=2\text{Rg } M = \text{Rg } M^* = 2 la recta está contenida en el plano.
  • Si Rg M=2\text{Rg } M = 2 y Rg M∗=3\text{Rg } M^* = 3 la recta es paralela al plano.
  • Si Rg M=Rg M∗=3\text{Rg } M = \text{Rg } M^* = 3 recta y plano son secantes.
Dado el plano π1\pi_1 en forma implícita:
A1x+B1y+C1z=D1A_1x + B_1y + C_1z = D_1
Y el plano π2\pi_2 en forma implícita:
A2x+B2y+C2z=D2A_2x + B_2y + C_2z = D_2
Sean las matrices:
M=(A1B1C1A2B2C2)M∗=(A1B1C1D1A2B2C2D2)M = \begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \end{pmatrix} \quad M^* = \begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 & D_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 & D_2 \end{pmatrix}
  • Si Rg M=Rg M∗=1\text{Rg } M = \text{Rg } M^* = 1 Planos coincidentes.
  • Si Rg M=1\text{Rg } M = 1 y Rg M∗=2\text{Rg } M^* = 2 Planos paralelos.
  • Si Rg M=Rg M∗=2\text{Rg } M = \text{Rg } M^* = 2 Planos secantes en una recta.
Dadas 3 ecuaciones generales del plano;
π1≡A1x+B1y+C1z=D1π2≡A2x+B2y+C2z=D2π3≡A3x+B3y+C3z=D3\begin{aligned} \pi_1 &\equiv A_1x + B_1y + C_1z = D_1 \\ \pi_2 &\equiv A_2x + B_2y + C_2z = D_2 \\ \pi_3 &\equiv A_3x + B_3y + C_3z = D_3 \end{aligned}
estudiaremos el rango de las matrices de coeficientes MM y ampliada M∗M^*
M=(A1B1C1A2B2C2A3B3C3)M∗=(A1B1C1D1A2B2C2D2A3B3C3D3)M = \begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{pmatrix} \quad M^* = \begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 & D_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 & D_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 & D_3 \end{pmatrix}
Rg MRg M*Posición relativa
113 Planos coincidentes
3 planos coincidentes
12Caso 1: 2 planos coincidentes y otro paralelo
Caso 2: 3 planos paralelos
3 planos paralelos
22Caso 1: 2 planos coincidentes y otro secante
Caso 2: 3 planos secantes en una recta
3 planos secantes en una recta
23Caso 1: 2 planos paralelos y otro secante
Caso 2: 3 planos secantes dos a dos
3 planos secantes dos a dos
33Planos secantes.
Se cortan en un punto
3 planos secantes en un punto