Matemáticas

Problemas métricos en ℝ³

Cálculo de ángulos y distancias entre puntos, rectas y planos, así como cálculo de proyecciones ortogonales.

  • Entre dos rectas: Sean rr y ss dos rectas, u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} sus vectores:
rs^=arccos⁡∣u⃗⋅v⃗∣∣u⃗∣⋅∣v⃗∣\widehat{rs} = \arccos \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}
  • Entre dos planos: π\pi y π′\pi', y sean n⃗π\vec{n}_\pi y n⃗π′\vec{n}_{\pi'} sus vectores normales.
ππ′^=arccos⁡∣n⃗π⋅n⃗π′∣∣n⃗π∣⋅∣n⃗π′∣\widehat{\pi\pi'} = \arccos \frac{|\vec{n}_\pi \cdot \vec{n}_{\pi'}|}{|\vec{n}_\pi| \cdot |\vec{n}_{\pi'}|}
  • Entre una recta r de vector u⃗\vec{u} y un plano de vector normal n⃗π\vec{n}_\pi:
rπ^=arcsen ∣u⃗⋅n⃗π∣∣u⃗∣⋅∣n⃗π∣\widehat{r\pi} = \text{arcsen } \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}_\pi|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}_\pi|}
  • De un punto a una recta: Sean un punto PP y una recta rr de vector u⃗\vec{u} y AA un punto cualquiera de la recta.
d(P,r)=∣AP⃗×u⃗∣∣u⃗∣d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}
  • De un punto P(x0,y0,z0)P(x_0, y_0, z_0) a un plano π\pi en forma implícita:
d(P,π)=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
  • Entre dos rectas paralelas: Será la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra recta.
  • Entre dos planos paralelos: dados en forma implícita
d(π,π′)=∣D−D′∣A2+B2+C2d(\pi, \pi') = \frac{|D - D'|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
  • De una recta a un plano paralelo: Será la distancia de un punto cualquiera de la recta al plano.
  • Entre dos rectas r y s que se cruzan: Sean u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} los vectores y AA y BB los puntos de rr y ss respectivamente.
d(r,s)=∣[AB⃗,u⃗,v⃗]∣∣u⃗×v⃗∣d(r, s) = \frac{|[\vec{AB}, \vec{u}, \vec{v}]|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}
Hallar la recta r, perpendicular al plano π\pi, que pase por el punto exterior P=(x0,y0,z0)P = (x_0, y_0, z_0):
Sea el plano π≡Ax+By+Cz+D=0\pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0
Se cumple que el vector normal del plano, n⃗\vec{n} y el vector de la recta u⃗\vec{u} son el mismo:
u⃗=n⃗=(A,B,C)\vec{u} = \vec{n} = (A,B,C)

La ecuación paramétrica de la recta será:
{x=x0+λAy=y0+λBz=z0+λC\begin{cases} x = x_0 + \lambda A \\ y = y_0 + \lambda B \\ z = z_0 + \lambda C \end{cases}
Recta perpendicular a un plano
Hallar el plano π\pi, perpendicular a la recta r, que pase por P=(x0,y0,z0)P = (x_0, y_0, z_0):
Es el problema contrario al anterior. Obtenemos el vector director de la recta u⃗=(A,B,C)\vec{u} = (A,B,C).
Puesto que el vector normal del plano, n⃗\vec{n} y el vector de la recta u⃗\vec{u} son iguales, el plano que buscamos es:
π≡Ax+By+Cz+D=0\pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0

Donde queda por determinar el término independiente D. Lo hallamos aplicando el punto D=−(Ax0+By0+Cz0)D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)
Plano perpendicular a una recta
Proyección ortogonal de un punto P sobre una recta r: el punto Q buscado es la sombra que hace P sobre la recta. Método:
  • El punto Q pertenece a la recta. Utilizando la ecuación paramétrica, Q tendrá la forma:
    Q=(x0+λux,y0+λuy,z0+λuz)Q = (x_0 + \lambda u_x, y_0 + \lambda u_y, z_0 + \lambda u_z)
  • Hallamos el vector PQ⃗\vec{PQ}
  • El vector PQ⃗\vec{PQ} y el vector u⃗\vec{u} director de la recta son perpendiculares. Hallamos λ\lambda aplicando: PQ⃗⋅u⃗=0\vec{PQ} \cdot \vec{u} = 0
Proyección ortogonal de punto sobre recta
Proyección ortogonal de un punto P sobre un plano π\pi: Seguiremos el siguiente método para hallarlo:
  • Hallamos la ecuación de la recta perpendicular a π\pi que pasa por P
  • El punto Q es la intersección de la recta hallada con π\pi
Proyección ortogonal de punto sobre plano
Punto simétrico de un punto P respecto a otro punto Q:
El punto simétrico P' que buscamos cumple:
PQ⃗=QP′⃗\vec{PQ} = \vec{QP'}
Punto simétrico respecto a otro punto
Ejemplo: Simétrico de P(3,2,-1) respecto a Q(2,4,0)
Buscamos P′=(x,y,z)P' = (x,y,z) tal que PQ⃗=QP′⃗\vec{PQ} = \vec{QP'}
Entonces: (2−3,4−2,0+1)=(x−2,y−4,z)(2-3, 4-2, 0+1) = (x-2, y-4, z)
Se obtiene: P′=(1,6,1)P' = (1,6,1)
Punto simétrico de un punto P respecto a una recta r:
  • Hallamos la proyección Q, del punto P sobre la recta r
  • Hallamos el simétrico de P respecto a Q
Punto simétrico respecto a una recta
Punto simétrico de un punto P respecto a un plano π\pi:
  • Hallamos la proyección Q, del punto P sobre el plano π\pi
  • Hallamos el simétrico de P respecto a Q
Punto simétrico respecto a un plano
Recta perpendicular a otras dos rectas r y s que se cruzan:
Sean u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} los vectores y A y B los puntos de r y s
  • Hallamos un vector perpendicular común: w⃗=u⃗×v⃗\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}
  • Hallamos el plano π1\pi_1, que contiene a r, con u⃗,w⃗,A\vec{u}, \vec{w}, A
  • Hallamos el plano π2\pi_2, que contiene a s, con v⃗,w⃗,B\vec{v}, \vec{w}, B
  • La recta buscada es la intersección π1\pi_1 con π2\pi_2
Recta que se apoya en otras dos rectas r y s que se cruzan, y pasa por un punto P:
Sean u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} los vectores y A y B los puntos de r y s. La recta buscada es la intersección de los planos siguientes:
  • Plano π1\pi_1 que contiene a r y P. Se halla con u⃗,AP⃗,A\vec{u}, \vec{AP}, A
  • Plano π2\pi_2 que contiene a s y P. Se halla con v⃗,BP⃗,B\vec{v}, \vec{BP}, B