Matemáticas

Inecuaciones

Estudio de desigualdades: inecuaciones de 1º y 2º grado, grado superior, racionales y con valor absoluto. Sistemas de inecuaciones con una y dos incógnitas (región factible).

Son desigualdades que pueden tomar las 4 formas siguientes: >> (mayor), ≥\ge (mayor o igual), << (menor), ≤\le (menor o igual).
Se resuelven despejando la incógnita igual que en las ecuaciones. El resultado se expresa como un intervalo, el conjunto de valores que cumplen la desigualdad. Ej.:
2(x+3)≤4x+10⇒2x−4x≤10−62(x+3) \le 4x + 10 \quad \Rightarrow \quad 2x - 4x \le 10 - 6
−2x≤4-2x \le 4
x≥4−2⇒x≥−2⇒x∈[−2,∞)x \ge \dfrac{4}{-2} \quad \Rightarrow \quad x \ge -2 \quad \Rightarrow \quad x \in [-2,\infty)
Nótese que al despejar x, como su coeficiente es negativo, se cambia el sentido de la desigualdad. El intervalo es cerrado en x=-2, porque la desigualdad contiene igual.
De forma general, para resolver cualquier inecuación seguiremos el siguiente método:
  1. Dejamos la inecuación simplificada comparada con 0. Si es racional, no se eliminan denominadores.
  2. Hallamos las raíces del numerador y denominador. Representamos estas raíces en la recta real, teniendo en cuenta:
    • Si la desigualdad tiene igual, son puntos cerrados.
    • Si la desigualdad no tiene igual, o son raíces del denominador, son puntos abiertos.
  3. Evaluamos el signo de la expresión algebraica en los intervalos determinados en la recta real.
  4. Indicamos como solución los intervalos que cumplen.
1. Inecuación simplificada: x2−x−2>0x^2 - x - 2 > 0
2. Raíces del polinomio: x=1±1+82⇒x=−1  ;x=2\displaystyle x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2} \Rightarrow x = -1 \;; \quad x = 2
Raíces en la recta real:
Raíces -1 y 2 en recta real
3. Signo de x2−x−2x^2 - x - 2 en los intervalos:
Signo en intervalos
4. El resultado son los intervalos positivos. En este caso son abiertos porque la inecuación no contiene igual.
x∈(−∞,−1)∪(2,∞)x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)
  • Inecuación simplificada: (x−3)xx+2≥0\displaystyle \dfrac{(x-3)x}{x+2} \ge 0
  • Raíces numerador y denominador: x=−2  ;x=0  ;x=3x = -2 \;; \quad x = 0 \;; \quad x = 3
Raíces en la recta real:
Raíces -2, 0 y 3
  • Signo de (x−3)xx+2\displaystyle \dfrac{(x-3)x}{x+2} en los intervalos:
Signos
  • Resultado, intervalos positivos:
x∈(−2,0]∪[3,∞)x \in (-2, 0] \cup [3, \infty)
  • Se resuelven las inecuaciones independientemente.
  • La solución general es la intersección de los intervalos solución individuales de cada inecuación. Ejemplo:
{2(x−2)≤4xSol: x∈[−2,∞)x2−x−2>0Sol: x∈(−∞,−1)∪(2,∞)\begin{cases} 2(x-2) \le 4x & \text{Sol: } x \in [-2, \infty) \\ x^2 - x - 2 > 0 & \text{Sol: } x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \end{cases}
Representamos las soluciones en la recta real para ayudarnos a ver la intersección:
Intersección en recta real
La solución es la zona donde coinciden ambas líneas:
x∈[−2,−1)∪(2,∞)x \in [-2, -1) \cup (2, \infty)
  • Una vez simplificada la inecuación, se representa la gráfica correspondiente a la función. Si la desigualdad contiene igual se dibuja con línea continua, si no, se dibuja discontinua. Esta divide el plano en dos regiones.
  • Probamos un punto cualquiera de cada región para determinar cuál es la zona que cumple. Se sombrea la solución.

2x+3y≥62x + 3y \ge 6

Representamos 2x+3y=62x+3y=6 en línea continua

y>x2−4y > x^2 - 4

Representamos y=x2−4y=x^2-4 en línea discontinua

Región plano recta
Región plano parábola
Representamos cada inecuación de forma independiente. La solución es la región donde se superponen.

{x≤4y≤32x+3y≥6\begin{cases} x \le 4 \\ y \le 3 \\ 2x + 3y \ge 6 \end{cases}
Región factible
  • << o ≤\le. Se desglosa la inecuación en dos. La solución es la intersección de ambas. Ejemplo:
∣2x−3∣≤3−x⇒{2x−3≤3−x⇒x≤22x−3≥−(3−x)⇒x≥0Sol: x∈[0,2]|2x-3| \le 3-x \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 2x-3 \le 3-x & \Rightarrow \quad x \le 2 \\ 2x-3 \ge -(3-x) & \Rightarrow \quad x \ge 0 \end{cases} \qquad \text{Sol: } x \in [0, 2]
  • >> o ≥\ge. Se desglosa la inecuación en dos. La solución es la unión de ambas. Ej.:
∣x+1∣>3⇒{x+1>3⇒x>2x+1<−3⇒x<−4Sol: x∈(−∞,−4)∪(2,∞)|x+1| > 3 \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x+1 > 3 & \Rightarrow \quad x > 2 \\ x+1 < -3 & \Rightarrow \quad x < -4 \end{cases} \qquad \text{Sol: } x \in (-\infty, -4) \cup (2, \infty)