Matemáticas

Números complejos

Estudio de los números imaginarios y complejos: formas binómica, polar y trigonométrica, operaciones aritméticas, fórmula de Moivre y resolución de ecuaciones de 2º grado con raíces complejas.

Definición: El número imaginario ii se define como:
i=−1i = \sqrt{-1}
Potencias del número imaginario ii

i1=−1=ii^1 = \sqrt{-1} = i
i2=−1⋅−1=−12=−1i^2 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{-1}^2 = -1
i3=i2⋅i=−ii^3 = i^2 \cdot i = -i
i4=i2⋅i2=−1⋅(−1)=1i^4 = i^2 \cdot i^2 = -1 \cdot (-1) = 1
i5=i4⋅i=ii^5 = i^4 \cdot i = i
...
Nótese que a partir de la 5ª potencia se repite el valor de la 1ª potencia, luego las potencias de ii son cíclicas, de periodo 4. Las potencias de exponente múltiplo de 4 son iguales a 1.
Teniendo en cuenta esto, podemos calcular cualquier potencia de ii. Ej.:
i19=i16⋅i3=1⋅i3=−ii^{19} = i^{16} \cdot i^3 = 1 \cdot i^3 = -i
Definición: Un número complejo está compuesto de una parte real y una parte imaginaria. Se denotan por la variable zz.
Número complejo en forma binómica: z=a+biz = a + bi
Donde aa es la parte real, y bb la parte imaginaria.
Número complejo en forma cartesiana o vectorial: Se denota como un par de valores (a,b)(a, b) de un plano cartesiano, con eje de abscisas la recta real R\mathbb{R}, y eje de ordenadas la recta imaginaria ii.
Representación cartesiana de un número complejo
z=(a,b)z = (a,b)
Número complejo en forma polar: Se escribe por el módulo mm y el argumento, o ángulo α\alpha, que forma el vector (a,b)(a,b) con el eje de abscisas; z=m∣αz = m_{|\alpha}
Representación polar de un número complejo
Donde:
m=a2+b2α=arctgba\begin{aligned} m &= \sqrt{a^2 + b^2} \\ \alpha &= \text{arctg}\frac{b}{a} \end{aligned}
Ej: z=3+4i=(3,4)z = 3 + 4i = (3,4)
m=32+42=5α=arctg43=53∘⇒z=5∣53∘m = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \qquad \alpha = \text{arctg}\frac{4}{3} = 53^\circ \quad \Rightarrow \quad z = 5_{|53^\circ}
Número complejo en forma trigonométrica: es la forma de pasar un numero complejo dado en forma polar a forma binómica:
z=m(cos⁡α+isen α)z = m(\cos \alpha + i \text{sen } \alpha)
Ej: z=5∣53∘=5(cos⁡53∘+isen 53∘)\text{Ej: } z = 5_{|53^\circ} = 5(\cos 53^\circ + i \text{sen } 53^\circ)
Conjugado zˉ\bar{z} de z=a+biz = a + bi se cambia el signo de la parte imaginaria, ej. z=2−3i→zˉ=2+3iz = 2 - 3i \rightarrow \bar{z} = 2 + 3i
Opuesto −z-z de z=a+biz = a + bi se cambia el signo de la parte real e imaginaria, ej. z=2−3i→−z=−2+3iz = 2 - 3i \rightarrow -z = -2 + 3i
Suma y resta:
(2+3i)+(5−2i)=(2+5)+i(3−2)=(7+i)(2 + 3i) + (5 - 2i) = (2 + 5) + i(3 - 2) = (7 + i)
Producto: igual al producto de binomios. Se aplica i2=−1i^2 = -1
(2+3i)⋅(5−2i)=10−4i+15i−6i2=16+11i(2 + 3i) \cdot (5 - 2i) = 10 - 4i + 15i - 6i^2 = 16 + 11i
Cociente: Se multiplica y divide por el conjugado del denominador, y se simplifica
2+3i5+2i=(2+3i)⋅(5−2i)(5+2i)⋅(5−2i)=16+11i52−(2i)2=16+11i29\frac{2 + 3i}{5 + 2i} = \frac{(2 + 3i) \cdot (5 - 2i)}{(5 + 2i) \cdot (5 - 2i)} = \frac{16 + 11i}{5^2 - (2i)^2} = \frac{16 + 11i}{29}
Inverso: z−1z^{-1} se calcula haciendo la división 1/z1/z
(1−2i)−1=11−2i=1+2i(1−2i)(1+2i)=1+2i5(1 - 2i)^{-1} = \frac{1}{1 - 2i} = \frac{1 + 2i}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{1 + 2i}{5}
Producto:
m1∣α1⋅m2∣α2=(m1⋅m2)∣α1+α2\displaystyle m_{1|\alpha_1} \cdot m_{2|\alpha_2} = (m_1 \cdot m_2)_{|\alpha_1+\alpha_2}

5∣53∘⋅3∣17∘=15∣70∘\displaystyle 5_{|53^\circ} \cdot 3_{|17^\circ} = 15_{|70^\circ}

Cociente:
m1∣α1m2∣α2=(m1m2)∣α1−α2\displaystyle \frac{m_{1|\alpha_1}}{m_{2|\alpha_2}} = \left(\frac{m_1}{m_2}\right)_{|\alpha_1-\alpha_2}

15∣53∘3∣17∘=5∣36∘\displaystyle \frac{15_{|53^\circ}}{3_{|17^\circ}} = 5_{|36^\circ}

Potencia:
(m∣α)n=m∣n⋅αn\displaystyle (m_{|\alpha})^n = m^n_{|n \cdot \alpha}

(5∣20∘)3=125∣60∘\displaystyle (5_{|20^\circ})^3 = 125_{|60^\circ}

Fórmula de Moivre:
(cos⁡α+isen α)n=cos⁡(nα)+isen(nα)(\cos \alpha + i \text{sen } \alpha)^n = \cos(n\alpha) + i \text{sen}(n\alpha)
Raíces: Una raíz nn-ésima de un número complejo tiene nn soluciones, dadas por:
m∣αn=mn∣α+360knconk=0,1,2...(n−1)\sqrt[n]{m_{|\alpha}} = \sqrt[n]{m}_{|\frac{\alpha+360k}{n}} \quad \text{con} \quad k = 0, 1, 2... (n-1)
27∣60∘3={3∣60∘+03,3∣60∘+3603,3∣60∘+7203}={3∣20∘,3∣140∘,3∣260∘}\sqrt[3]{27_{|60^\circ}} = \left\{ 3_{|\frac{60^\circ+0}{3}}, 3_{|\frac{60^\circ+360}{3}}, 3_{|\frac{60^\circ+720}{3}} \right\} = \{ 3_{|20^\circ}, 3_{|140^\circ}, 3_{|260^\circ} \}
Cuando el discriminante b2−4acb^2 - 4ac, de una ecuación de 2º grado es negativo, no tiene soluciones reales, tendrá dos soluciones complejas conjugadas:
x2−2x+5=0x=2±4−4⋅1⋅52=2±−162=2±4−12=1±2i\begin{aligned} x^2 - 2x + 5 &= 0 \\ x &= \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{-1}}{2} = 1 \pm 2i \end{aligned}