Matemáticas

Funciones elementales

Estudio de la recta, parábola, funciones racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

La recta es una función polinómica de 1º grado. La ecuación explícita de la recta tiene la forma:
y=mx+ny = mx + n
Donde:
  • nn: ordenada en el origen (punto de corte en el eje Y).
  • mm: pendiente, que se calcula, conocidos dos puntos (x1,y1)(x_1, y_1) y (x2,y2)(x_2, y_2) como:
m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Para representarla, damos dos puntos, por ejemplo, los puntos de corte con los ejes, tomando 00 para la xx y 00 para la yy.
Tabla de valores y gráfica para representar una recta
Casos especiales
  • Recta horizontal: Tiene la ecuación del tipo y=ny = n.
  • Recta vertical: Tiene la ecuación del tipo x=kx = k.
  • Recta que pasa por el origen: Tiene la ecuación del tipo y=mxy = mx.
Gráficas de rectas horizontales, verticales y que pasan por el origen
Ecuación de la recta. Interpolación lineal
Dados dos puntos (x1,y1)(x_1, y_1) y (x2,y2)(x_2, y_2), la ecuación de la recta que los une viene dada por:
y−y1=y2−y1x2−x1⋅(x−x1)y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1)
La interpolación lineal consiste en, dados dos puntos, encontrar un tercero situado entre ambos, suponiendo que la relación entre las variables es lineal.

Ejemplo: Sabiendo que una carrera en taxi de 5 km nos cuesta 16 €, y una de 12 km cuesta 30 €. Calcular lo que costaría un viaje de 10 km en taxi.

La función que buscamos, yy, es el precio del viaje, en función de los kilómetros, xx. Sabemos dos puntos de esta función: (5,16)(5, 16) y (12,30)(12, 30). Aplicando la fórmula:
y−16=30−1612−5⋅(x−5)y - 16 = \frac{30 - 16}{12 - 5} \cdot (x - 5)
Simplificando se obtiene:
y=2x+6y = 2x + 6
Para encontrar el valor pedido, cuánto cuesta un viaje de x=10x = 10 km, basta con sustituir en la expresión hallada:
y=2⋅10+6y = 2 \cdot 10 + 6
El precio de recorrer 10 km será y=26y = 26 €.
Es una función polinómica de 2º grado de la forma:
y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c
  • Dominio: Dom=RDom = \mathbb{R}
  • Si a>0a > 0: la parábola es cóncava, ∪\cup (cóncava hacia arriba), tiene un mínimo en el vértice.
  • Si a<0a < 0: la parábola es convexa, ∩\cap (cóncava hacia abajo), tiene un máximo en el vértice.
  • La coordenada xx del vértice viene dada por:
xv=−b2ax_v = -\frac{b}{2a}
  • El término independiente cc, es la ordenada en el origen (punto de corte en el eje Y).
Para representarla tomaremos los puntos de corte con los ejes y el vértice.
Tabla de valores y gráfica de la parábola con vértice y puntos de corte
Gráfica de la parábola con vértice y puntos de corte
Interpolación cuadrática
Dados tres puntos (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), la ecuación de la parábola que los une se determina resolviendo el sistema:
{ax12+bx1+c=y1ax22+bx2+c=y2ax32+bx3+c=y3\begin{cases} ax_1^2 + bx_1 + c = y_1 \\ ax_2^2 + bx_2 + c = y_2 \\ ax_3^2 + bx_3 + c = y_3 \end{cases}
Donde las incógnitas a determinar son los parámetros de la parábola: a,b,ca, b, c.
Las funciones racionales son de la forma:
f(x)=P(x)Q(x)f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}
Donde P(x)P(x) y Q(x)Q(x) son polinomios.
  • Dominio: Dom=R−{Q(x)=0}Dom = \mathbb{R} - \{Q(x) = 0\}
  • Tiene asíntotas:
    • Verticales: En las raíces del denominador que no lo sean también del numerador.
    • Horizontales: Si grado P(x)≤P(x) \le grado Q(x)Q(x).
    • Oblicuas: Si grado P(x)=P(x) = grado Q(x)+1Q(x) + 1.
Función de proporcionalidad inversa
f(x)=kxcon k≠0f(x) = \frac{k}{x} \quad \text{con } k \neq 0
Tiene las siguientes características:
  • Dominio Dom=R−{0}Dom = \mathbb{R} - \{0\}.
  • No tiene corte con los ejes.
  • Asíntota vertical en x=0x = 0.
  • Asíntota horizontal en y=0y = 0.
Gráfica de una función de proporcionalidad inversa
Son de la forma:
y=f(x)ny = \sqrt[n]{f(x)}
  • Si nn es par: El dominio será el intervalo que cumple f(x)≥0f(x) \ge 0.
  • Si nn es impar: Dom=RDom = \mathbb{R}.
Gráfica de la función raíz cuadrada (índice par)
Gráfica de la función raíz cúbica (índice impar)
La función seno
f(x)=sen x \displaystyle f(x) = \text{sen } x
Tiene las siguientes características:
  • Dominio Dom=RDom = \mathbb{R}
  • Periódica de periodo P=2πP = 2\pi
  • Corte con el eje Y en (0,0)(0, 0)
  • Corte con el eje X: x=kπ(k∈Z)x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
  • Máximos relativos: x=π/2+2kπ(k∈Z)x = \pi/2 + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
  • Mínimos relativos: x=3π/2+2kπ(k∈Z)x = 3\pi/2 + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
La función coseno
f(x)=cos⁡x \displaystyle f(x) = \cos x
Tiene las siguientes características:
  • Dominio Dom=RDom = \mathbb{R}
  • Periódica de periodo P=2πP = 2\pi
  • Corte con el eje Y en (0,1)(0, 1)
  • Corte con el eje X: x=π/2+kπ(k∈Z)x = \pi/2 + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
  • Máximos relativos: x=2kπ(k∈Z)x = 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
  • Mínimos relativos: x=π+2kπ(k∈Z)x = \pi + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
Gráficas de las funciones seno y coseno solapadas
La función tangente
f(x)=tg x \displaystyle f(x) = \text{tg } x
Tiene las siguientes características:
  • Dom=R−{π/2+kπ}(k∈Z)Dom = \mathbb{R} - \{\pi/2 + k\pi\} \quad (k \in \mathbb{Z})
  • Periodo: P=πP = \pi
  • No tiene máximos ni mínimos.
  • Asíntotas verticales:
    x=π/2+kπ(k∈Z)x = \pi/2 + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
Gráfica de la función tangente mostrando sus asíntotas verticales
La función logaritmo natural:
f(x)=ln⁡x \displaystyle f(x) = \ln x
o de forma general, cualquier función logarítmica:
f(x)=log⁡bx \displaystyle f(x) = \log_b x
Tienen las siguientes características:
  • Dom=(0,∞)Dom = (0, \infty)
  • Corte con el eje X en (1,0)(1, 0)
  • Asíntota vertical en x=0x = 0
Gráfica de la función logarítmica
La función exponencial natural:
f(x)=ex \displaystyle f(x) = e^x
o de forma general, cualquier función exponencial (inversa de la logarítmica):
f(x)=ax \displaystyle f(x) = a^x
Tienen las siguientes características:
  • Dominio Dom=RDom = \mathbb{R}
  • Corte con el eje Y en (0,1)(0, 1)
  • Asíntota horizontal en y=0y = 0
Gráfica de funciones exponenciales con base mayor y menor que 1
Una función definida a trozos es una función con distinto comportamiento según el intervalo de su variable independiente.

Ejemplo:
f(x)={x2+4x+3x<0x+3x≥0f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + 3 & x < 0 \\ x + 3 & x \ge 0 \end{cases}
  • En el intervalo (−∞,0)(-\infty, 0) la función f(x)f(x) es la parábola y=x2+4x+3y = x^2 + 4x + 3.
  • En el intervalo [0,∞)[0, \infty) la función f(x)f(x) es la recta y=x+3y = x + 3.
Cada rama se dibuja estudiando sus características correspondientes:
Tabla de valores de cada rama de la función a trozos
Gráfica de la función definida a trozos combinando parábola y recta
Funciones con valor absoluto: Se transforman en una función definida a trozos. Hallamos las raíces del término entre valor absoluto y construimos su cuadro de signos. Los intervalos de signo negativo de este se multiplican por −1-1.

Ejemplo:
f(x)=3x+∣x2−4∣  ⟹  x2−4=0  ⟹  x=−2 ; x=2f(x) = 3x + |x^2 - 4| \implies x^2 - 4 = 0 \implies x = -2 \text{ ; } x = 2
Cuadro de signos para el polinomio x^2 - 4
f(x)={3x+(x2−4)si x≤−23x−(x2−4)si −2<x<23x+(x2−4)si x≥2f(x) = \begin{cases} 3x + (x^2 - 4) & \text{si } x \le -2 \\ 3x - (x^2 - 4) & \text{si } -2 < x < 2 \\ 3x + (x^2 - 4) & \text{si } x \ge 2 \end{cases}