Matemáticas

Sistemas de ecuaciones II

Expresión matricial, teorema de Rouché-Frobenius, sistemas homogéneos y resolución por matriz inversa, Gauss y Cramer.

Un sistema de ecuaciones se puede representar en forma matricial. Ej.: Sea el sistema de ecuaciones;
{a11x+a12y+a13z=b1a21x+a22y+a23z=b2a31x+a32y+a33z=b3{2x−5y+3z=4x−2y+z=35x+y+7z=11\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x - 5y + 3z = 4 \\ x - 2y + z = 3 \\ 5x + y + 7z = 11 \end{cases}
Su expresión matricial será:
(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)⋅(xyz)=(b1b2b3)(2−531−21517)⋅(xyz)=(4311)\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 2 & -5 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 5 & 1 & 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 11 \end{pmatrix}
A⋅X=BA \cdot X = B
La matriz cuadrada de la izquierda, A, representa los coeficientes de las incógnitas. La matriz columna X es la matriz de incógnitas, y la matriz B de la derecha representa los términos independientes.
Para estudiar un sistema se utilizan las matrices siguientes:
Matriz de coeficientes: matriz de los coeficientes de las incógnitas:
A=(2−531−21517)A = \begin{pmatrix} 2 & -5 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 5 & 1 & 7 \end{pmatrix}
Matriz ampliada: matriz A ampliada con la columna de términos independientes:
A∗=(2−5341−21351711)A^* = \begin{pmatrix} 2 & -5 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & 1 & 3 \\ 5 & 1 & 7 & 11 \end{pmatrix}
Un sistema de ecuaciones se dice que es:
  • Sistema incompatible (S.I.) cuando no tiene solución.
  • Sistema compatible determinado (S.C.D.) cuando tiene una única solución.
  • Sistema compatible indeterminado (S.C.I.) cuando tiene infinitas soluciones.
Teorema de Rouché-Frobenius
Sea un sistema de mm ecuaciones y nn incógnitas. Y sea AA su matriz de coeficientes y A∗A^* su matriz ampliada. Entonces:
  • Si rgA=rgA∗=n\text{rg} A = \text{rg} A^* = n, es compatible determinado (SCD)
  • Si rgA=rgA∗<n\text{rg} A = \text{rg} A^* < n, es compatible indeterminado (SCI)
  • Si rgA≠rgA∗\text{rg} A \neq \text{rg} A^*, el sistema es incompatible (SI)
Sistemas donde los términos independientes son nulos. Ej.:
{2x−5y+3z=0x−2y+z=05x+7y+7z=0\begin{cases} 2x - 5y + 3z = 0 \\ x - 2y + z = 0 \\ 5x + 7y + 7z = 0 \end{cases}
Es evidente, al ser rgA=rgA∗\text{rg} A = \text{rg} A^*, que un sistema homogéneo es siempre compatible.
Será determinado si rgA=n\text{rg} A = n, de solución trivial x=0;y=0;z=0x=0; y=0; z=0, e indeterminado cuando rgA<n\text{rg} A < n.
Método de la matriz inversa
Si consideramos la expresión matricial de un sistema:
A⋅X=B\displaystyle A \cdot X = B
En caso de que la matriz A sea regular, es decir, tiene inversa, entonces la solución del sistema es:
X=A−1⋅B\displaystyle X = A^{-1} \cdot B
Método de Gauss
Consiste en transformar el sistema de partida en otro equivalente escalonado aplicando las siguientes transformaciones equivalentes:
  • Multiplicar (o dividir) una ecuación por un escalar no nulo.
  • Sumar a una ecuación una combinación lineal de otras.
  • Eliminar una ecuación que sea combinación lineal de otras del sistema.
Ejemplo:
{2x−5y+3z=4x−2y+z=35x+y+7z=11A∗=(2−5341−21351711)\begin{cases} 2x - 5y + 3z = 4 \\ x - 2y + z = 3 \\ 5x + y + 7z = 11 \end{cases} \qquad A^* = \begin{pmatrix} 2 & -5 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & 1 & 3 \\ 5 & 1 & 7 & 11 \end{pmatrix}
Utilizando transformaciones elementales se transforma en:
{x−2y+z=3−y+z=−213z=−26A∗=(1−2130−11−20013−26)\begin{cases} x - 2y + z = 3 \\ -y + z = -2 \\ 13z = -26 \end{cases} \qquad A^* = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 13 & -26 \end{pmatrix}
La última línea representa la ecuación 13z=−2613z = -26
Se pueden ir resolviendo las incógnitas de abajo a arriba.
Regla de Cramer
Se dice que un sistema lineal de ecuaciones es de Cramer si su matriz de coeficientes es cuadrada y regular, es decir, con determinante no nulo.
Sea el sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas, en forma matricial siguiente:
A∗=(a11a12b1a21a22b2)∣A∣=∣a11a12a21a22∣A^* = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \end{pmatrix} \qquad |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}
La solución del sistema se encuentra aplicando:
x=∣b1a12b2a22∣∣A∣y=∣a11b1a21b2∣∣A∣x = \frac{\begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix}}{|A|} \qquad y = \frac{\begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix}}{|A|}
Sea el sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas, en forma matricial siguiente:
A∗=(a11a12a13b1a21a22a23b2a31a32a33b3)∣A∣=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣A^* = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \end{pmatrix} \qquad |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}
La solución del sistema se encuentra aplicando:
x=∣b1a12a13b2a22a23b3a32a33∣∣A∣y=∣a11b1a13a21b2a23a31b3a33∣∣A∣z=∣a11a12b1a21a22b2a31a32b3∣∣A∣\begin{aligned} x &= \frac{\begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}}{|A|} \\ \\ y &= \frac{\begin{vmatrix} a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \end{vmatrix}}{|A|} \\ \\ z &= \frac{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \end{vmatrix}}{|A|} \end{aligned}