Matemáticas

Teoría y aplicaciones de las derivadas

Definición de derivada, derivabilidad, interpretación geométrica, cálculo de máximos y mínimos, problemas de optimización y rectas tangente y normal.

Derivada de una función en un punto
La derivada de la función f(x)f(x) en un punto x=ax = a es el valor del límite del cociente entre el incremento de la función y el incremento de la variable cuando este tiende a 00.
f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}
Ejemplo: Derivada de y=3x2y = 3x^2 en x=2x=2
f′(2)=lim⁡h→0f(2+h)−f(2)h=lim⁡h→03(2+h)2−3(2)2hf'(2) = \lim_{h\to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{3(2+h)^2 - 3(2)^2}{h}
=lim⁡h→012+12h+3h2−12h=lim⁡h→0h(12+3h)h=12= \lim_{h\to 0} \frac{12 + 12h + 3h^2 - 12}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{h(12 + 3h)}{h} = 12
Derivadas laterales de una función en un punto
Derivada por la izquierda:
f′(a−)=lim⁡h→0−f(a+h)−f(a)hf'(a^-) = \lim_{h\to 0^-} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}
Derivada por la derecha:
f′(a+)=lim⁡h→0+f(a+h)−f(a)hf'(a^+) = \lim_{h\to 0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}
Definición. Derivada de una función. Función derivada
La función derivada de una función f(x)f(x) es otra función f′(x)f'(x) que asocia a cada número real su derivada, si existe.
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
Una función es derivable en x=ax = a si es continua y existen las derivadas laterales y coinciden.
f′(a−)=f′(a+)f'(a^-) = f'(a^+)
Como en la continuidad, estudiar la derivabilidad consiste en decidir en qué puntos la función es derivable, analizando el dominio de la función, y si la función es a trozos, estudiar los puntos donde cambia de función.

Ejemplo. Estudiar la derivabilidad de la función:
f(x)={x2+2xx≤1x3+x+1x>1f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & x \le 1 \\ x^3 + x + 1 & x > 1 \end{cases}
f′(x)={2x+2x<13x2+1x>1f'(x) = \begin{cases} 2x + 2 & x < 1 \\ 3x^2 + 1 & x > 1 \end{cases}
Ambos trozos son polinómicos, por lo que son continuos y derivables en sus intervalos. Estudiamos la continuidad y derivabilidad en x=1x=1 donde cambia la función.

1. Continuidad en x=1:
lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1+f(x)=f(1)=3  ⟹  Es continua en x=1\lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^+} f(x) = f(1) = 3 \implies \text{Es continua en } x=1
2. Derivabilidad en x=1:
f′(1−)=(2x+2)x=1=4f'(1^-) = (2x+2)_{x=1} = 4
f′(1+)=(3x2+1)x=1=4f'(1^+) = (3x^2+1)_{x=1} = 4
Ambas derivadas coinciden, por lo tanto f(x)f(x) es derivable en x=1x=1
La derivada de una función ff en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.
f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=tg⁡α\displaystyle f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \operatorname{tg} \alpha
Interpretación geométrica de la derivada como la pendiente de la recta tangente
También llamados puntos críticos: puntos donde la tangente es horizontal, es decir donde la derivada se anula:
f′(x)=0f'(x) = 0
Las soluciones, x0,x1,x2...x_0, x_1, x_2..., son los puntos candidatos a máximos y mínimos. Se comprueban en la 2ª derivada:
Si f′′(x0)>0 es mıˊnimoSi f′′(x0)<0 es maˊximo\begin{aligned} \textit{Si } f''(x_0) > 0 & \textit{ es mínimo} \\ \textit{Si } f''(x_0) < 0 & \textit{ es máximo} \end{aligned}
Aplicación a problemas de optimización. Método:
  1. Determinar la variable objetivo que hay que maximizar o minimizar. Esto se deduce de la lectura del enunciado.
  2. Expresar en forma de función el objetivo propuesto.
  3. Calculamos el máximo o mínimo buscado utilizando el criterio anterior, igualar a 0 la derivada f′(x)f'(x).
Ejemplo: Calcula dos números cuya suma es 20 y el producto el máximo posible.

1) El objetivo es el producto PP de dos números xx e yy:
P=x⋅y\displaystyle P = x \cdot y

2) Necesitamos poner esta función en una sola variable. Sabemos que x+y=20x+y=20, luego y=20−xy=20-x, entonces:
P=x⋅(20−x)\displaystyle P = x \cdot (20-x)

3) Derivamos e igualamos a 0:
P′(x)=20−2x=0  ⟹  x=10\displaystyle P'(x) = 20 - 2x = 0 \implies x = 10

Aplicamos el criterio de la segunda derivada:
P′′(x)=−2  ⟹  P′′(10)=−2\displaystyle P''(x) = -2 \implies P''(10) = -2

Como P′′(10)<0P''(10) < 0, hay un máximo en x=10x=10, y su valor es P(10)=100P(10) = 100.
Ecuación de la recta tangente
La tangente a una función en un punto tiene la misma pendiente que la función, y es precisamente la derivada de la función en dicho punto:
m=tg⁡α=f′(a)\displaystyle m = \operatorname{tg} \alpha = f'(a)

Entonces, la recta tangente a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a,f(a))(a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f′(a)f'(a). La ecuación de la recta tangente viene dada por la siguiente expresión:
Recta tangente a la curva en un punto
y−f(a)=f′(a)⋅(x−a)y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a)
Ecuación de la recta normal
La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.
mn=−1m=−1tg⁡α=−1f′(a)\displaystyle m_n = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = -\frac{1}{f'(a)}

Entonces, la ecuación de la recta normal a una curva en un punto x=ax=a tiene la ecuación:
Recta normal perpendicular a la recta tangente
y−f(a)=−1f′(a)⋅(x−a)y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)} \cdot (x - a)