Matemáticas

Continuidad

Estudio de la continuidad de una función en un punto y clasificación de las discontinuidades.

Continuidad en un punto: Una función es continua en un punto x=ax=a si se cumplen las siguientes condiciones:
  • Existe la imagen de aa, es decir, ∃f(a)\exists f(a)
  • Existe el límite y es finito para x=ax=a, lo cual implica que los límites laterales coinciden:
lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=k\lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x) = k
  • Ambas condiciones coinciden, es decir, se cumple:
lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x) = f(a)
Continuidad de una función: Se dice que una función es continua, si lo es en todos los puntos de su dominio.
Para estudiar la continuidad de una función debemos seguir los siguientes pasos:
  1. Determinar los posibles puntos de discontinuidad: siguiendo estas consideraciones:
    1. En las funciones definidas a trozos, estudiaremos los puntos de cambio de función.
    2. En las funciones racionales, estudiaremos los puntos que anulan el denominador.
    3. De forma general estudiaremos los puntos de los extremos de cada intervalo del dominio y los puntos de no existencia del dominio.
  2. Para cada punto x=ax=a de posible discontinuidad calcularemos:
lim⁡x→a−f(x);lim⁡x→a+f(x);f(a)\lim_{x\to a^-} f(x) \quad ; \quad \lim_{x\to a^+} f(x) \quad ; \quad f(a)
  1. La función es continua en x=ax=a si cumple:
lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x) = f(a)
  1. Si la función no es continua en x=ax=a, clasificaremos la discontinuidad según el cuadro adjunto.
Ejemplo. Estudiar la continuidad de la función:
f(x)={1x−1x<02x−20≤xf(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-1} & x < 0 \\ \frac{2}{x-2} & 0 \le x \end{cases}
1. Estudiaremos la continuidad en x=0x=0 (cambio de función) y en x=2x=2 (anula el denominador de la 2ª función). No es necesario estudiar x=1x=1, porque, aunque anula el denominador de la 1ª función, no pertenece a su intervalo de definición.

2. Calculamos los límites y la imagen de cada punto:
Estudio de la continuidad en x=0x=0
lim⁡x→0−1x−1=−1\lim_{x\to 0^-} \frac{1}{x-1} = -1
lim⁡x→0+2x−2=−1\lim_{x\to 0^+} \frac{2}{x-2} = -1
f(0)=−1f(0) = -1
Estudio de la continuidad en x=2x=2
lim⁡x→2−2x−2=−∞\lim_{x\to 2^-} \frac{2}{x-2} = -\infty
lim⁡x→2+2x−2=+∞\lim_{x\to 2^+} \frac{2}{x-2} = +\infty
f(2)=∄f(2) = \nexists
3. La función es continua en x=0x=0.
4. La función tiene una discontinuidad asintótica en x=2x=2.
Discontinuidad evitable
Existen los límites laterales y son finitos e iguales.
  • No existe imagen f(a)f(a):
Discontinuidad evitable sin imagen
  • Existe imagen f(a)f(a) pero no coincide con los límites:
Discontinuidad evitable con imagen
Discontinuidad inevitable o esencial

De primera especie:
  • De salto finito: los límites laterales existen y son finitos pero diferentes:
Discontinuidad de salto finito 1
  • De salto infinito: uno de los límites laterales es finito y el otro infinito:
Discontinuidad de salto infinito 1
  • Asintótica: los dos límites laterales son infinitos:
Discontinuidad asintótica 1
De segunda especie: No existe alguno de los límites laterales:
Discontinuidad de segunda especie 1