Matemáticas

Números reales

Conjuntos numéricos, fracción generatriz, representación en la recta real, valor absoluto, intervalos, errores y notación científica.

Diagrama de conjuntos numéricos anidados: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ con los imaginarios fuera de ℝ

ℕ: Números naturales
ℤ: Números enteros
ℚ: Números racionales
𝕀: Números irracionales
ℝ: Números reales
i: Números imaginarios
ℂ: Números complejos

Decimal exacto: Dividir el número sin coma por un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales:

2{,}25 = \dfrac{225}{100} = \dfrac{9}{4}

Decimal periódico puro: Se divide la resta del número sin la coma menos la parte no periódica, entre tantos 9 como cifras tiene el periodo. Ej.:

2{,}\widehat{45} = \dfrac{245-2}{99} = \dfrac{243}{99} = \dfrac{27}{11}

Decimal periódico mixto: Se divide la resta del número sin la coma menos la parte no periódica, entre tantos 9 como cifras tiene el periodo seguidos de tantos ceros como decimales no periódicos. Ej.:

6{,}3\widehat{45} = \dfrac{6345-63}{990} = \dfrac{6282}{990} = \dfrac{349}{55}

Fracción propia (numerador < denominador). Se divide la primera unidad en tantas partes como el valor del denominador, por el método de Tales. Ej.:

\dfrac{3}{5} \Rightarrow

Representación de 3/5 en la recta real mediante el método de Tales

Fracción impropia (numerador > denominador). Se pone como fracción mixta, parte entera + parte fraccionaria como fracción propia. Dibujamos la fracción, como en el caso anterior, a partir de la unidad que indica la parte entera. Ej.:

-\dfrac{8}{3} = -\!\left(2+\dfrac{2}{3}\right) = -2-\dfrac{2}{3} \Rightarrow

$Representación de -8/3 en la recta real como fracción mixta$

Raíces cuadradas: La raíz que queremos representar será la hipotenusa de un triángulo rectángulo,

h = \sqrt{a^2+b^2}

de catetos

a

b

. Descomponemos el radicando en la suma de dos cuadrados, y la hipotenusa la llevamos a la recta real con ayuda del compás. Ej.:

\sqrt{5} = \sqrt{2^2+1^2} \Rightarrow

Representación de √5 en la recta real mediante triángulo rectángulo y compás

Es el valor sin signo de un número. Ejemplos:

|-4|=4 \;; \quad |4|=4

|x|=2 \Rightarrow x=-2;\, x=2

|x|<2 \Rightarrow -2<x<2 \quad x\in(-2,2)

|x|>2 \Rightarrow (x<-2)\vee(x>2) \quad x\in(-\infty,-2)\cup(2,\infty)

|x-2|<5 \Rightarrow -5<x-2<5 \quad x\in(-3,7)

Funciones con valor absoluto: Se transforma en funciones definidas a trozos: hallamos las raíces de la expresión dentro del valor absoluto, y su cuadro de signos. Los intervalos de signo negativo del término valor absoluto se multiplican por -1. Ej.: