Matemáticas

Trigonometría

Medida de ángulos, razones trigonométricas, relaciones fundamentales, ángulos notables, ángulos relacionados y resolución de triángulos con los teoremas del seno y coseno. Incluye suma, diferencia, ángulo doble, mitad y transformación de sumas a productos.

2π  (rad)=360∘2\pi \; (rad) = 360^\circ
Radianes a gradosGrados a radianes
α(∘)=180πα(rad)\displaystyle \alpha(^\circ) = \frac{180}{\pi} \alpha(rad)α(rad)=π180α(∘)\displaystyle \alpha(rad) = \frac{\pi}{180} \alpha(^\circ)

Longitud de arco

L=R⋅α(rad)L=R⋅π⋅α180(grados)L = R \cdot \alpha(rad) \qquad L = \frac{R \cdot \pi \cdot \alpha}{180}(grados)
Triángulo rectángulo con ángulo agudo alfa
Funciones
Senosen α=cat. opuestohipotenusa=ac\text{sen } \alpha = \dfrac{\text{cat. opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \dfrac{a}{c}
Tangentetg α=cat. opuestocat. contiguo=ab\text{tg } \alpha = \dfrac{\text{cat. opuesto}}{\text{cat. contiguo}} = \dfrac{a}{b}
Secantesec⁡α=hipotenusacat. contiguo=cb\sec \alpha = \dfrac{\text{hipotenusa}}{\text{cat. contiguo}} = \dfrac{c}{b}
Cofunciones
Cosenocos⁡α=cat. contiguohipotenusa=bc\cos \alpha = \dfrac{\text{cat. contiguo}}{\text{hipotenusa}} = \dfrac{b}{c}
Cotangentecotg α=cat. contiguocat. opuesto=ba\text{cotg } \alpha = \dfrac{\text{cat. contiguo}}{\text{cat. opuesto}} = \dfrac{b}{a}
Cosecantecosec α=hipotenusacat. opuesto=ca\text{cosec } \alpha = \dfrac{\text{hipotenusa}}{\text{cat. opuesto}} = \dfrac{c}{a}
InversasFundamentales
sec⁡α=1cos⁡α\displaystyle \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}
cosec α=1sen α\displaystyle \text{cosec } \alpha = \frac{1}{\text{sen } \alpha}
cotg α=1tg α\displaystyle \text{cotg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha}

tg α=sen αcos⁡α\displaystyle \text{tg } \alpha = \frac{\text{sen } \alpha}{\cos \alpha}

sen2α+cos⁡2α=1\text{sen}^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

tg2α+1=sec⁡2α\text{tg}^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha

1+cotg2α=cosec2α1 + \text{cotg}^2 \alpha = \text{cosec}^2 \alpha

0º30º45º60º90º
sen α\text{sen } \alpha012\displaystyle \frac{1}{2}22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}1
cos⁡α\cos \alpha132\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}12\displaystyle \frac{1}{2}0
tan α\text{tan } \alpha033\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}13\sqrt{3}∄\nexists
Ángulos complementarios (α+β=90∘\alpha+\beta=90^\circ)

sen α=cos⁡(90∘−α)\text{sen } \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)
cos⁡α=sen(90∘−α)\cos \alpha = \text{sen}(90^\circ - \alpha)
tg α=cotg(90∘−α)\text{tg } \alpha = \text{cotg}(90^\circ - \alpha)
sec⁡α=cosec(90∘−α)\sec \alpha = \text{cosec}(90^\circ - \alpha)
Ángulos complementarios circunferencia goniométrica
Ángulos suplementarios (α+β=180∘\alpha+\beta=180^\circ)

sen(180∘−α)=sen α\text{sen}(180^\circ - \alpha) = \text{sen } \alpha
cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha
Ángulos suplementarios circunferencia goniométrica
Ángulos opuestos

sen(−α)=−sen α\text{sen}(-\alpha) = -\text{sen } \alpha
cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos \alpha
Ángulos opuestos circunferencia goniométrica
Ángulos que difieren en 180∘180^\circ

sen(180∘+α)=−sen α\text{sen}(180^\circ + \alpha) = -\text{sen } \alpha
cos⁡(180∘+α)=−cos⁡α\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha
Ángulos que difieren en 180
Ángulos que difieren en 90∘90^\circ

sen(90∘+α)=cos⁡α\text{sen}(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha
cos⁡(90∘+α)=−sen α\cos(90^\circ + \alpha) = -\text{sen } \alpha
Ángulos que difieren en 90
Triángulo cualquiera
Teorema del seno
asen A=bsen B=csen C\displaystyle \frac{a}{\text{sen } A} = \frac{b}{\text{sen } B} = \frac{c}{\text{sen } C}

Teorema del coseno
a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡Ab2=a2+c2−2ac⋅cos⁡Bc2=a2+b2−2ab⋅cos⁡C\begin{aligned} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \\ b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B \\ c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \end{aligned}

Es una circunferencia de radio 1 centrada en el origen. El par de coordenadas (x, y) de un punto de la circunferencia son los valores del coseno y seno, respectivamente, del ángulo que forma el radio.
Circunferencia goniométrica completa con ángulos en radianes y grados
Interpretación geométrica de las razones trigonométricas en la circunferencia
Signo del seno y coseno en los 4 cuadrantes
sen(α+β)=senα⋅cos⁡β+senβ⋅cos⁡αcos⁡(α+β)=cos⁡α⋅cos⁡β−senα⋅senβtg(α+β)=tgα+tgβ1−tgα⋅tgβ\begin{aligned} \text{sen}(\alpha + \beta) &= \text{sen} \alpha \cdot \cos \beta + \text{sen} \beta \cdot \cos \alpha \\ \cos(\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cdot \cos \beta - \text{sen} \alpha \cdot \text{sen} \beta \\ \text{tg}(\alpha + \beta) &= \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}{1 - \text{tg} \alpha \cdot \text{tg} \beta} \end{aligned}
sen(α−β)=senα⋅cos⁡β−senβ⋅cos⁡αcos⁡(α−β)=cos⁡α⋅cos⁡β+senα⋅senβtg(α−β)=tgα−tgβ1+tgα⋅tgβ\begin{aligned} \text{sen}(\alpha - \beta) &= \text{sen} \alpha \cdot \cos \beta - \text{sen} \beta \cdot \cos \alpha \\ \cos(\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cdot \cos \beta + \text{sen} \alpha \cdot \text{sen} \beta \\ \text{tg}(\alpha - \beta) &= \frac{\text{tg} \alpha - \text{tg} \beta}{1 + \text{tg} \alpha \cdot \text{tg} \beta} \end{aligned}
sen(2α)=2senα⋅cos⁡αcos⁡(2α)=cos⁡2α−sen2αtg(2α)=2tgα1−tg2α\begin{aligned} \text{sen}(2\alpha) &= 2\text{sen} \alpha \cdot \cos \alpha \\ \cos(2\alpha) &= \cos^2 \alpha - \text{sen}^2 \alpha \\ \text{tg}(2\alpha) &= \frac{2\text{tg} \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} \end{aligned}
sen(α2)=±1−cos⁡α2cos⁡(α2)=±1+cos⁡α2tg(α2)=±1−cos⁡α1+cos⁡α\begin{aligned} \text{sen}\left(\frac{\alpha}{2}\right) &= \pm\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}} \\ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) &= \pm\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}} \\ \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) &= \pm\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}} \end{aligned}
senA+senB=2sen(A+B2)⋅cos⁡(A−B2)senA−senB=2cos⁡(A+B2)⋅sen(A−B2)cos⁡A+cos⁡B=2cos⁡(A+B2)⋅cos⁡(A−B2)cos⁡A−cos⁡B=−2sen(A+B2)⋅sen(A−B2)\begin{aligned} \text{sen} A + \text{sen} B &= 2\text{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \\ \text{sen} A - \text{sen} B &= 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cdot \text{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right) \\ \cos A + \cos B &= 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \\ \cos A - \cos B &= -2\text{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) \cdot \text{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right) \end{aligned}