Matemáticas

Integral definida. Aplicaciones

Cálculo de la integral definida y sus aplicaciones: regla de Barrow, cálculo de áreas de recintos planos y volúmenes de revolución.

Integral definida: Dada una función f(x)f(x) y un intervalo [a,b][a, b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x)f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x=ax=a y x=bx=b
A=∫abf(x)dxA = \int_a^b f(x) dx
Área bajo una curva
Regla de Barrow: La integral definida de una función continua f(x)f(x) en un intervalo cerrado [a,b][a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva F(x)F(x) en los extremos de dicho intervalo.
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
Propiedades de la integral definida
  • El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
    ∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx\displaystyle \int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx
  • Con límites de integración iguales, la integral vale cero.
    ∫aaf(x)dx=0\displaystyle \int_a^a f(x) dx = 0
  • Si cc es un punto interior del intervalo [a,b][a, b] la integral se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a,c][a, c] y [c,b][c, b]
    ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx\displaystyle \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx
Teorema del valor medio del cálculo integral
Si una función f(x)f(x) es continua en un intervalo [a,b][a, b] entonces existe un punto c∈[a,b]c \in [a, b] tal que:
∫abf(x)dx=f(c)⋅(b−a)\int_a^b f(x) dx = f(c) \cdot (b-a)
Teorema del valor medio del cálculo integral
Caso 1. Área bajo una curva
A=∣∫abf(x)dx∣A = \left| \int_a^b f(x) dx \right|
Caso 1. Área bajo una curva
Caso 2. Área bajo una curva
La curva corta con el eje x en c.
A=∣∫acf(x)dx∣+∣∫cbf(x)dx∣A = \left| \int_a^c f(x) dx \right| + \left| \int_c^b f(x) dx \right|
Caso 2. Área bajo una curva con corte en eje x
Caso 3. Área entre 2 curvas
A=∣∫ab[f(x)−g(x)]dx∣A = \left| \int_a^b [f(x) - g(x)] dx \right|
Caso 3. Área entre 2 curvas
Caso 4. Área entre 2 curvas que se cortan
A=∣∫ab(f(x)−g(x))dx∣+∣∫bc(f(x)−g(x))dx∣A = \left| \int_a^b (f(x) - g(x)) dx \right| + \left| \int_b^c (f(x) - g(x)) dx \right|
Caso 4. Área entre 2 curvas que se cortan
Volúmenes de revolución:
Un volumen de revolución se obtiene al hacer girar un arco de la función f(x)f(x) alrededor del eje OX. El volumen de la forma generada se calcula:
V=π∫ab[f(x)]2dxV = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx
Volumen de revolución
Cálculo de la longitud de arco
L=∫ab1+[f′(x)]2dxL = \int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2} dx
Área de una superficie de revolución
A=∫ab2πf(x)1+[f′(x)]2dxA = \int_a^b 2\pi f(x) \sqrt{1+[f'(x)]^2} dx
Trabajo realizado por una fuerza
W=∫abF(x)dxW = \int_a^b F(x) dx