Matemáticas

Límites de funciones

Cálculo de límites, operaciones con infinito, indeterminaciones e infinitésimos equivalentes.

0k=0 \displaystyle \frac{0}{k} = 0
k0=±∞ (IND) \displaystyle \frac{k}{0} = \pm\infty \text{ (IND)}
k∞=0 \displaystyle \frac{k}{\infty} = 0
∞k=∞ \displaystyle \frac{\infty}{k} = \infty
0∞=0 \displaystyle \frac{0}{\infty} = 0
∞0=∞ \displaystyle \frac{\infty}{0} = \infty
00=IND \displaystyle \frac{0}{0} = IND
∞∞=IND \displaystyle \frac{\infty}{\infty} = IND
∞−∞=IND \displaystyle \infty - \infty = IND
k⋅∞=∞ \displaystyle k \cdot \infty = \infty
∞⋅∞=∞ \displaystyle \infty \cdot \infty = \infty
0⋅∞=IND \displaystyle 0 \cdot \infty = IND
0k={0si k>0∞si k<0 \displaystyle 0^k = \begin{cases} 0 & \text{si } k > 0 \\ \infty & \text{si } k < 0 \end{cases}
k∞={∞si k>10si 0<k<1 \displaystyle k^\infty = \begin{cases} \infty & \text{si } k > 1 \\ 0 & \text{si } 0 < k < 1 \end{cases}
0∞=0 \displaystyle 0^\infty = 0
00=IND \displaystyle 0^0 = IND
∞0=IND \displaystyle \infty^0 = IND
1∞=IND \displaystyle 1^\infty = IND
Los límites de funciones en el infinito se pueden aproximar a funciones más sencillas teniendo en cuenta las siguientes reglas de comparación de grados:
  • Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de orden superior.
  • Una función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de mayor orden que una función potencial.
  • Dadas dos potencias de xx, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.
  • Las potencias de xx son infinitos de orden superior a las funciones logarítmicas.
  • Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden.
xx≫kx≫xa≫log⁡xx^x \gg k^x \gg x^a \gg \log x
En los límites cuando x→0x \to 0, se pueden utilizar las siguientes aproximaciones:
lim⁡x→0x∼lim⁡x→0sen x∼lim⁡x→0tg x∼lim⁡x→0arcsen x∼lim⁡x→0arctg x\lim_{x\to 0} x \sim \lim_{x\to 0} \text{sen } x \sim \lim_{x\to 0} \text{tg } x \sim \lim_{x\to 0} \text{arcsen } x \sim \lim_{x\to 0} \text{arctg } x
lim⁡x→0ex∼lim⁡x→0(1+x)\lim_{x\to 0} e^x \sim \lim_{x\to 0} (1+x)
lim⁡x→0cos⁡x∼lim⁡x→0(1−x22)\lim_{x\to 0} \cos x \sim \lim_{x\to 0} \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)
lim⁡x→1ln⁡x∼lim⁡x→1(x−1)∼lim⁡x→1sen(x−1)\lim_{x\to 1} \ln x \sim \lim_{x\to 1} (x-1) \sim \lim_{x\to 1} \text{sen}(x-1)
Se resuelve hallando los límites laterales. Las soluciones serán ±∞\pm\infty, y se dibujan en una asíntota vertical. Ejemplo:
lim⁡x→22x−2=20\lim_{x\to 2} \frac{2}{x-2} = \frac{2}{0}
Hallamos los límites laterales:
lim⁡x→2−2x−2=20−=−∞\displaystyle \lim_{x\to 2^-} \frac{2}{x-2} = \frac{2}{0^-} = -\infty
lim⁡x→2+2x−2=20+=+∞\displaystyle \lim_{x\to 2^+} \frac{2}{x-2} = \frac{2}{0^+} = +\infty
Gráfica de los límites laterales en una asíntota vertical
Se resuelve factorizando y simplificando. Si tenemos raíces habrá que multiplicar y dividir por el conjugado para eliminar las raíces previamente y poder factorizar. Ejemplo:
lim⁡x→2x2−4x2−3x+2=00\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2} = \frac{0}{0}
Factorizamos, simplificamos y aplicamos el límite:
lim⁡x→2(x+2)(x−2)(x−2)(x−1)=lim⁡x→2x+2x−1=4\lim_{x\to 2} \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)(x-1)} = \lim_{x\to 2} \frac{x+2}{x-1} = 4
Método 1: Se divide numerador y denominador por la potencia de xx de mayor grado.

¡OJO! Si hay polinomios dentro de raíces cuadradas, el grado es la mitad. Ejemplo:
lim⁡x→∞x4−1x2−2=∞∞\lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{x^4 - 1}}{x^2 - 2} = \frac{\infty}{\infty}
Resolvemos dividiendo por x2x^2:
lim⁡x→∞x4−1x2x2−2x2=lim⁡x→∞x4x4−1x4x2x2−2x2=1−01−0=1\lim_{x\to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x^4 - 1}}{x^2}}{\frac{x^2 - 2}{x^2}} = \lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^4}{x^4} - \frac{1}{x^4}}}{\frac{x^2}{x^2} - \frac{2}{x^2}} = \frac{\sqrt{1-0}}{1-0} = 1
Método 2: Se resuelve aproximando cada polinomio en la expresión despreciando los términos de menor grado y simplificando. Ejemplo:
lim⁡x→∞x4−1x2−2≈lim⁡x→∞x4x2=lim⁡x→∞x2x2=1\lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{x^4 - 1}}{x^2 - 2} \approx \lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{x^4}}{x^2} = \lim_{x\to \infty} \frac{x^2}{x^2} = 1
Método 3: Por comparación de órdenes de infinitos: ver el recuadro adjunto en esta página.
Método 1: Si tenemos fracciones algebraicas, se operan y nos quedará una indeterminación de las anteriores; ∞/∞\infty/\infty o k/0k/0. Se actuará como convenga.
  • Si hay expresiones irracionales, multiplicamos y dividimos por el conjugado. Operando, obtendremos una indeterminación de las anteriores.
Método 2: Por comparación de órdenes de infinitos: ver el recuadro anterior. Gana el infinito de mayor orden.
Se aplica la fórmula siguiente, donde el exponente resultará en una indeterminación de las anteriores.
lim⁡x→kf(x)g(x)=elim⁡x→kg(x)⋅[f(x)−1]\lim_{x\to k} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x\to k} g(x) \cdot [f(x) - 1]}