Matemáticas

Distribución binomial

Experimento de Bernoulli, función de probabilidad, esperanza matemática, desviación típica y aproximación a la normal mediante Moivre-Laplace y corrección de Yates.

Un experimento sigue el modelo de la distribución binomial o de Bernoulli si:
  • En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario Aˉ\bar{A} (fracaso).
  • La probabilidad de que ocurra el suceso A es constante, se representa por p\mathbf{p}.
  • El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
La distribución binomial se suele representar por B(n,p)\mathbf{B(n, p)}, donde n\mathbf{n} es el número de pruebas, p\mathbf{p} es la probabilidad de éxito, y q\mathbf{q} es la probabilidad de fracaso, siendo q=1−pq = 1 - p.
La probabilidad de obtener k\mathbf{k} éxitos en una binomial es:
P(x=k)=(nk)pk⋅qn−kP(x = k) = \binom{n}{k} p^k \cdot q^{n-k}
Esperanza matemática o media (μ\mu): Es una medida de tendencia central que se emplea para designar mediante un solo valor a una colección de elementos y se representa por μ\mu. Viene dada por:
μ=n⋅p\mu = n \cdot p
Desviación típica (σ\sigma): Es una medida de dispersión que se emplea para indicar como de cercanos de la media se encuentran los elementos de la colección y se representa por σ\sigma. En una distribución binomial viene dada por:
σ=n⋅p⋅q\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}
Teorema de Moivre-Laplace:
Si X es una variable discreta que sigue una distribución binomial de parámetros n y p, B(n,p)B(n, p) y se cumple que n>10n > 10, n⋅p>5n \cdot p > 5 y n⋅q>5n \cdot q > 5, resulta una aproximación bastante buena suponer que la variable X se aproxima a la variable normal X′X' de media μ=n⋅p\mu = n \cdot p y desviación típica σ=n⋅p⋅q\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}, es decir:
B(n,p)  ⟹  N(n⋅p,n⋅p⋅q)B(n, p) \implies N(n \cdot p, \sqrt{n \cdot p \cdot q})
Para calcular probabilidades con la aproximación a la Normal hemos de tener en cuenta que la binomial es discreta y la normal continua, por lo que introducimos un ajuste en el cálculo llamado Corrección de Yates:
P(X=a)=P(a−0,5≤X′≤a+0,5)P(X≤a)=P(X′≤a+0,5)P(X≥a)=P(X′≥a−0,5)P(X<a)=P(X′≤a−0,5)P(X>a)=P(X′≥a+0,5)\begin{aligned} P(X = a) &= P(a - 0{,}5 \le X' \le a + 0{,}5) \\ P(X \le a) &= P(X' \le a + 0{,}5) \quad & P(X \ge a) &= P(X' \ge a - 0{,}5) \\ P(X < a) &= P(X' \le a - 0{,}5) \quad & P(X > a) &= P(X' \ge a + 0{,}5) \end{aligned}