Matemáticas

Aritmética mercantil

Matemática financiera aplicada: cálculo de porcentajes, interés simple y compuesto, anualidades de capitalización y amortización, cálculo de la TAE y números índice.

Porcentaje es expresar un número como fracción de 100. Por ejemplo, un porcentaje r=12%r = 12\% significa 12 de cada 100.
Índice de variación: es el factor por el que hay que multiplicar una cantidad para aplicarle un porcentaje rr (de aumento o disminución).
Iv=(1±r100)I_v = \left( 1 \pm \dfrac{r}{100} \right)
Aumento porcentual: (índice de variación >> 1) Si se quiere aumentar una cantidad inicial C0C_0 en un porcentaje rr, la cantidad final obtenida será:
Cf=C0(1+r100)C_f = C_0 \left( 1 + \dfrac{r}{100} \right)
Disminución porcentual: (índice de variación << 1) Si se quiere disminuir una cantidad inicial C0C_0 en un porcentaje rr, la cantidad final obtenida será:
Cf=C0(1−r100)C_f = C_0 \left( 1 - \dfrac{r}{100} \right)
Porcentajes encadenados: para calcular sucesivos aumentos o disminuciones porcentuales, se multiplican los índices de variación.

Ejemplo: aumento del 15%, disminución del 8%, y aumento del 25%.
Cf=C0(1+15100)⋅(1−8100)⋅(1+25100)C_f = C_0 \left( 1 + \dfrac{15}{100} \right) \cdot \left( 1 - \dfrac{8}{100} \right) \cdot \left( 1 + \dfrac{25}{100} \right)

I es el beneficio que origina una cantidad de dinero, llamada capital C0C_0, al depositarlo en una entidad que nos ofrece un rédito anual rr (en %), durante un tiempo tt (años).

I=C0(r100t)I = C_0 \left( \dfrac{r}{100} t \right)
El capital obtenido al finalizar el periodo Cf=C0+IC_f = C_0 + I es:
Cf=C0(1+r100t)C_f = C_0 \left( 1 + \dfrac{r}{100} t \right)

Si los intereses se abonan en periodos diferentes del año, el término índice de variación hay que ajustarlo al periodo.

Semestral
r2⋅100⋅s\displaystyle \frac{r}{2 \cdot 100} \cdot s
Trimestral
r4⋅100⋅tr\displaystyle \frac{r}{4 \cdot 100} \cdot tr
Mensual
r12⋅100⋅m\displaystyle \frac{r}{12 \cdot 100} \cdot m
Diario
r365⋅100⋅d\displaystyle \frac{r}{365 \cdot 100} \cdot d
Si los intereses se abonan en la misma cuenta donde está el capital inicial, el capital que produce rédito va aumentando en cada periodo.
El capital final obtenido al finalizar el periodo será CfC_f.
Cf=C0(1+r100)t\begin{aligned} C_f &= C_0 \left( 1 + \dfrac{r}{100} \right)^t \end{aligned}
I=Cf−C0\begin{aligned} I &= C_f - C_0 \end{aligned}

Si los intereses se abonan en periodos diferentes del año, el término variable hay que ajustarlo al periodo.

Semestral
(1+r2⋅100)s\displaystyle \left(1 + \frac{r}{2 \cdot 100}\right)^s
Trimestral
(1+r4⋅100)tr\displaystyle \left(1 + \frac{r}{4 \cdot 100}\right)^{tr}
Mensual
(1+r12⋅100)m\displaystyle \left(1 + \frac{r}{12 \cdot 100}\right)^m
Diario
(1+r365⋅100)d\displaystyle \left(1 + \frac{r}{365 \cdot 100}\right)^d
Es una cantidad de dinero fija llamada cuota, aa, que se deposita periódicamente, sobre la que se obtiene un rédito rr en %, para obtener un capital final CfC_f, al cabo de un cierto tiempo, tt.
Cf=a(1+i)(1+i)t−1i\begin{aligned} C_f &= a(1+i) \dfrac{(1+i)^t - 1}{i} \end{aligned}
coni=r100\begin{aligned} \text{con} \quad i &= \dfrac{r}{100} \end{aligned}
Es la cantidad de dinero fija o cuota, aa, devuelta periódicamente para saldar un capital prestado CC, a cierto interés rr en % anual, al cabo de un cierto tiempo, tt en años.
a=C⋅(1+i)t⋅i(1+i)t−1\begin{aligned} a &= C \cdot \dfrac{(1+i)^t \cdot i}{(1+i)^t - 1} \end{aligned}
coni=r100\begin{aligned} \text{con} \quad i &= \dfrac{r}{100} \end{aligned}
Si queremos calcular el capital prestado en función del número de cuotas y de la cuota fija:
C=a⋅(1+i)t−1(1+i)t⋅iC = a \cdot \dfrac{(1+i)^t - 1}{(1+i)^t \cdot i}

Como en otras fórmulas de matemática mercantil, si el periodo de la cuota es con diferente intervalo, el término ii y la variable de tiempo tt, habrá que ajustarlos.

Semestral
t=st=s
i=r2⋅100\displaystyle i = \frac{r}{2 \cdot 100}
Trimestral
t=trt=tr
i=r4⋅100\displaystyle i = \frac{r}{4 \cdot 100}
Mensual
t=mt=m
i=r12⋅100\displaystyle i = \frac{r}{12 \cdot 100}
Diario
t=dt=d
i=r365⋅100\displaystyle i = \frac{r}{365 \cdot 100}

TAE: Tasa Anual Equivalente. (% de crecimiento del capital en un año) Es una referencia orientativa del coste o rendimiento efectivo anual de un producto financiero independientemente de su plazo:

TAE=[(1+ip)p−1]⋅100coni=r100\text{TAE} = \left[ \left( 1 + \dfrac{i}{p} \right)^p - 1 \right] \cdot 100 \qquad \text{con} \qquad i = \dfrac{r}{100}
Siendo pp el número de liquidaciones o cuotas al año.
Sirven para comparar datos de forma rápida, en forma de porcentaje.
Ejemplo: Tabla consumo de agua por habitante y día
2018201920202021
Cáceres163185221203
Asturias161172195185
Valencia138143168162
Para realizar la tabla de números índice, fijamos como referencia el consumo en 2018, que corresponderá al 100%, y el resto de datos serán un porcentaje de ese dato de referencia.
Tabla de números índice de consumo de agua
2018201920202021
Cáceres100113135124
Asturias100106121115
Valencia100103121117