Matemáticas

Rectas en el plano

Todas las ecuaciones de la recta, posiciones relativas, cálculo del ángulo, rectas paralelas/perpendiculares y problemas métricos (distancias, mediatriz, bisectriz).

Se puede obtener la ecuación de una recta a partir de un punto P(x0,y0)P(x_0, y_0) y un vector director v⃗(vx,vy)\vec{v}(v_x, v_y), o bien conociendo dos puntos P(x0,y0)P(x_0, y_0) y Q(x1,y1)Q(x_1, y_1) y hallando el vector entre ellos.
Obtención de recta a partir de un punto y un vector, o a partir de dos puntos
Ejemplo guía: Con P(3,4)P(3,4) y Q(2,2)Q(2,2) obtenemos v⃗=QP⃗=(1,2)\vec{v} = \vec{QP} = (1, 2)
1. Ecuación Vectorial:
(x,y)=λ(vx,vy)+(x0,y0)(x,y) = \lambda(v_x, v_y) + (x_0, y_0)
(x,y)=λ(1,2)+(3,4)\color{#2563eb} (x,y) = \lambda(1,2) + (3,4)
2. Ecuación Paramétrica: se obtiene desglosando la vectorial en sus componentes X e Y.
{x=λ⋅vx+x0y=λ⋅vy+y0\begin{cases} x = \lambda \cdot v_x + x_0 \\ y = \lambda \cdot v_y + y_0 \end{cases}
{x=λ+3y=2λ+4\color{#2563eb} \begin{cases} x = \lambda + 3 \\ y = 2\lambda + 4 \end{cases}
3. Ecuación Continua: despejamos λ\lambda en ambas paramétricas e igualamos.
x−x0vx=y−y0vy\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y}
x−31=y−42\color{#2563eb} \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 4}{2}
4. Ecuación Punto-pendiente: pasando el denominador vxv_x al otro lado para obtener la pendiente m=vyvxm = \frac{v_y}{v_x}.
y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)
y−4=2(x−3)\color{#2563eb} y - 4 = 2(x - 3)
5. Ecuación Explícita: despejamos yy en la ecuación punto-pendiente. Siendo n=y0−mx0n = y_0 - m x_0 la ordenada en el origen (punto de corte con el eje Y).
y=mx+ny = mx + n
y=2x−2\color{#2563eb} y = 2x - 2
6. Ecuación General o Implícita: eliminamos denominadores y ordenamos. Con pendiente m=−ABm = -\frac{A}{B} y vector director v⃗=(−B,A)\vec{v}=(-B, A). El vector u⃗=(A,B)\vec{u}=(A, B) es perpendicular a la recta.
Ax+By+C=0Ax + By + C = 0
2x−y−2=0\color{#2563eb} 2x - y - 2 = 0
7. Ecuación Canónica: obtenida a partir de los puntos de corte con los ejes, aa (eje X) y bb (eje Y). En nuestro ejemplo, los cortes son a=1,b=−2a=1, b=-2.
xa+yb=1\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1
x1+y−2=1\color{#2563eb} \frac{x}{1} + \frac{y}{-2} = 1
Representación gráfica de la recta y sus puntos de corte a y b con los ejes cartesianos
Dado el sistema formado por dos ecuaciones generales Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 y A′x+B′y+C′=0A'x + B'y + C' = 0, podemos conocer su posición según la proporción de sus coeficientes:
  • Coincidentes (Infinitas sol.):

    AA′=BB′=CC′\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'}
Dos rectas que se superponen exactamente (coincidentes)
  • Paralelas (0 soluciones):

    AA′=BB′≠CC′\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} \neq \frac{C}{C'}
Dos rectas paralelas que nunca se cruzan
  • Secantes (1 solución):

    AA′≠BB′\frac{A}{A'} \neq \frac{B}{B'}
Dos rectas que se cruzan en un único punto (secantes)
Ángulo entre dos rectas conocidas sus pendientes m1m_1 y m2m_2:
tg α=∣m1−m21+m1⋅m2∣\text{tg } \alpha = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right|
Resumen de cómo construir la recta paralela y la perpendicular a una dada, dependiendo del tipo de ecuación:
Recta originalParalelaPerpendicular
y=mx+ny = mx + ny=mx+n′y = mx + n'y=−1mx+n′y = -\frac{1}{m}x + n'
Ax+By+C=0Ax + By + C = 0Ax+By+C′=0Ax + By + C' = 0Bx−Ay+C′=0Bx - Ay + C' = 0
Distancia de un punto a una recta
La distancia de un punto P(x0,y0)P(x_0, y_0) a una recta r≡Ax+By+C=0r \equiv Ax + By + C = 0 es:
d(P,r)=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d(P, r) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
Punto de mínima distancia
Dada una recta rr de vector director v⃗\vec{v} y un punto exterior P(x0,y0)P(x_0, y_0), el punto Q(x,y)Q(x, y) en la recta cuya distancia es mínima a PP cumple que el vector PQ⃗\vec{PQ} es perpendicular a la recta. Su producto escalar con el vector director es cero:
PQ⃗⋅v⃗=0\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0
Punto Q en la recta r que marca la mínima distancia (perpendicular) hacia el punto exterior P
Punto simétrico respecto a una recta
Para calcular el punto simétrico P′P' de PP respecto a rr:
  • Primero hallamos el punto de mínima distancia QQ de la recta rr respecto a PP.
  • Después hallamos el simétrico P′P' de PP respecto a QQ.
Punto simétrico P prima respecto a la recta r, pasando por el punto central Q
Mediatriz de un segmento
Dado el segmento ABAB, la mediatriz es la recta perpendicular que lo divide en dos partes iguales:
  • Hallamos el punto medio MM del segmento.
  • Hallamos la recta de vector director perpendicular a AB⃗\vec{AB} que pasa por MM.
Bisectriz de dos rectas
Es el lugar geométrico de los puntos P(x,y)P(x,y) que equidistan de dos rectas rr y ss, cumpliéndose d(P,r)=d(P,s)d(P, r) = d(P, s):
∣A1x+B1y+C1∣A12+B12=∣A2x+B2y+C2∣A22+B22\frac{|A_1 x + B_1 y + C_1|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \frac{|A_2 x + B_2 y + C_2|}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}
(Nota: Desglosando el valor absoluto con ±\pm, se obtienen las dos rectas bisectrices perpendiculares entre sí).
Dos rectas bisectrices que dividen los ángulos formados por las rectas originales r y s