Matemáticas

Matrices y determinantes

Tipos de matrices, operaciones, cálculo de rango, orden, dimensión, determinantes y matriz inversa.

Se denomina matriz a un conjunto de números ordenado en filas y columnas. Ejemplo:

A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & -2 & 4 \\ 0 & 2 & 7 & -4 \end{pmatrix}

Matriz fila: Solo tiene una fila.

A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 \end{pmatrix}

Matriz columna: Solo tiene 1 columna.

A = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}

Matriz cuadrada: Tiene el mismo número de filas que de columnas.

A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 7 \end{pmatrix}

Matriz nula: Todos los elementos son 0.

A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Matriz triangular: Los elementos encima o debajo de su diagonal principal son 0.

A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}

Matriz diagonal: Los elementos encima y debajo de su diagonal principal son 0. Debe ser cuadrada.

A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}

Matriz identidad o unidad: Matriz diagonal donde todos los elementos de su diagonal principal son 1.

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Matriz traspuesta: Dada una matriz

A

, la traspuesta es la matriz

A^t

que se obtiene de cambiar filas por columnas.

A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 7 \end{pmatrix} \qquad A^t = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 7 \end{pmatrix}

Matriz simétrica: matriz cuadrada igual a su traspuesta:

A = A^t

Se denota por rg A. Es el número de líneas (filas o columnas) linealmente independientes, o también:
Es la dimensión del mayor menor no nulo.
Para una matriz A de dimensiones

m \times n

, su rango no puede ser mayor que la menor dimensión de A.

Se denota por rg A. Es el número de líneas (filas o columnas) linealmente independientes, o también:
Es la dimensión del mayor menor no nulo.
Para una matriz A de dimensiones

m \times n

, su rango no puede ser mayor que la menor dimensión de A.

Cálculo del rango por el método de Gauss-Jordan.
En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, aplicando transformaciones elementales, y el rango será el número de filas no nulas:
Son transformaciones elementales:

Multiplicar una fila por un número distinto de $0$ .
Sumar (o restar) a una fila, el múltiplo de otra fila.
Intercambiar el orden de las filas.

Cálculo del rango por determinantes.
Consiste en buscar menores no nulos del mayor orden posible, es decir, comenzar por los menores "más grandes" de A, y vamos reduciendo el tamaño hasta encontrar uno distinto de

0

El orden o dimensión de una matriz indica el número de filas y número de columnas. Se denota como

m \times n

(

m

el número de filas, y

n

el número de columnas). Ej.:

El orden o dimensión de una matriz indica el número de filas y número de columnas. Se denota como

m \times n

(

m

el número de filas, y

n

el número de columnas). Ej.:

A_{3\times 4} = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 7 & -2 \\ -1 & 3 & 2 & 9 \end{pmatrix}

Si la matriz es cuadrada, se puede decir Matriz cuadrada de orden

n

, donde

n

es el número de filas y columnas.

Suma de matrices: Deben ser de la misma dimensión. Se obtiene sumando los elementos que ocupan la misma posición (suma elemento a elemento)

\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}

Producto de un número real por una matriz: Se obtiene una matriz del mismo orden, en la que cada elemento está multiplicado por dicho número real.

5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 15 \\ -10 & 25 \end{pmatrix}

Producto de matrices: Dos matrices A y B se pueden multiplicar si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. Se obtiene un matriz que tiene el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que B. El elemento

c_{ij}

de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila

i

de la matriz A por su correspondiente elemento de la columna

j

de la matriz B y sumándolos. Ejemplo:

\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot 4 + 3\cdot 0 & 2\cdot 1 + 3\cdot 1 \\ 4\cdot 4 + 0\cdot 0 & 4\cdot 1 + 0\cdot 1 \\ -1\cdot 4 + 0\cdot 0 & -1\cdot 1 + 0\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 5 \\ 16 & 4 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}

El producto de matrices no es conmutativo:

A \cdot B \neq B \cdot A

Definición: Sea A una matriz cuadrada. La matriz inversa de A, denotada por

A^{-1}

cumple:

Definición: Sea A una matriz cuadrada. La matriz inversa de A, denotada por

A^{-1}

cumple:

A \cdot A^{-1} = I

Siendo

I

la matriz identidad de la misma dimensión que A.
Las matrices con inversa se denominan regulares o invertibles. En caso contrario, se denominan singulares o degeneradas.
Una matriz es invertible si su determinante no es nulo.

Propiedades de matriz inversa:

\begin{aligned} (A \cdot B)^{-1} &= B^{-1} \cdot A^{-1} \\ (A^{-1})^{-1} &= A \\ (k \cdot A)^{-1} &= k^{-1} \cdot A^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1} \\ (A^t)^{-1} &= (A^{-1})^t \\ |A^{-1}| &= \frac{1}{|A|} \end{aligned}

A toda matriz cuadrada se le asocia un número real que se llama su determinante, y se denota por

\det A = |A|

A toda matriz cuadrada se le asocia un número real que se llama su determinante, y se denota por

\det A = |A|

Determinante de matriz 2 x 2

Determinante de una matriz 3 x 3:
Lo ampliamos copiando las dos primeras columnas y añadiéndolas al final. Realizamos el cálculo que se indica en la figura:

Determinante de una matriz 4 x 4:
Se elige una fila o columna con el mayor número de ceros posible. Multiplicamos cada elemento por su adjunto.
Ej.: se halla el determinante por adjuntos de la 2ª columna

\begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0 + 1 \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 2 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} + 0 = -26

Un determinante es nulo, $|A| = 0$ $∣ A ∣ = 0$ si:
- Tiene dos filas, o columnas, iguales o proporcionales.
- Todos los elementos de una fila, o columna, son 0
- Los elementos de una fila, o columna, son combinación lineal de las otras.
El determinante de una matriz y el de su traspuesta son iguales:
$\displaystyle |A| = |A^t|$
Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal
Si en un determinante se cambian entre sí dos filas, o dos columnas, su valor cambia de signo
Si a una fila, o columna, se le suman los elementos de otra multiplicados por un número real, el valor no varía.
Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier fila (o cualquier columna), pero solo una.
$\displaystyle 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2\cdot 1 & 3 \\ 2\cdot 2 & 4 \end{vmatrix}$
De donde se deduce: $|k \cdot A| = k^n |A|$ Siendo $n$ el orden del determinante
Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen invariantes.
$\displaystyle \begin{vmatrix} 1+2 & 3+4 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 7 \end{vmatrix}$
El producto es conmutativo: $|A| \cdot |B| = |B| \cdot |A|$
El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes: $|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$

Un determinante es nulo, $|A| = 0$ $∣ A ∣ = 0$ si:
- Tiene dos filas, o columnas, iguales o proporcionales.
- Todos los elementos de una fila, o columna, son 0
- Los elementos de una fila, o columna, son combinación lineal de las otras.
El determinante de una matriz y el de su traspuesta son iguales:
$\displaystyle |A| = |A^t|$
Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal
Si en un determinante se cambian entre sí dos filas, o dos columnas, su valor cambia de signo
Si a una fila, o columna, se le suman los elementos de otra multiplicados por un número real, el valor no varía.
Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier fila (o cualquier columna), pero solo una.
$\displaystyle 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2\cdot 1 & 3 \\ 2\cdot 2 & 4 \end{vmatrix}$
De donde se deduce: $|k \cdot A| = k^n |A|$ Siendo $n$ el orden del determinante
Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen invariantes.
$\displaystyle \begin{vmatrix} 1+2 & 3+4 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 7 \end{vmatrix}$
El producto es conmutativo: $|A| \cdot |B| = |B| \cdot |A|$
El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes: $|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$

Se denomina Menor de una matriz al determinante de cualquier submatriz

k \times k

Se denomina Menor de una matriz al determinante de cualquier submatriz

k \times k

Se llama Menor complementario de un elemento

a_{ij}

al valor del determinante de orden

n-1

que se obtiene al suprimir en la matriz la fila

i

y la columna

j

Se denomina Adjunto de un elemento

a_{ij}

de una matriz, a su menor complementario multiplicado por

(-1)^{i+j}

Se llama matriz adjunta,

A^*

, o matriz de adjuntos, a aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.

Se llama matriz adjunta,

A^*

, o matriz de adjuntos, a aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.

A^* = Adj \begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 7 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 7 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -7 & 2 \\ -33 & 14 & -4 \\ -10 & 5 & -5 \end{pmatrix}

Cálculo por la definición de matriz inversa:

A \cdot A^{-1} = I

Método de Gauss para el cálculo de la matriz inversa
Pasos a seguir:

Escribimos una matriz doble, que contiene a la matriz A a la izquierda y la matriz identidad a la derecha.
$\displaystyle \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right)$
Realizamos transformaciones elementales (Combinaciones lineales) a la matriz izquierda hasta transformarla en la matriz identidad, realizando las mismas transformaciones a la derecha.
$\displaystyle \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{F_2 - 3F_1} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -7 & -3 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{7F_1 + 2F_2} \left(\begin{array}{cc|cc} 7 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & -7 & -3 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{\times 1/7 F_1, \times -1/7 F_2} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 1/7 & 2/7 \\ 0 & 1 & 3/7 & -1/7 \end{array}\right)$
La matriz obtenida a la derecha es la inversa buscada.

Cálculo por la matriz adjunta:

A^{-1} = \frac{(A^*)^t}{|A|}

Inversa de la Matriz 2 x 2 La matriz de 2 x 2 tiene una inversa fácil de recordar según la fórmula siguiente:

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \implies A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Matrices y determinantes

Tipos de matrices

Rango de una matriz rg A

Orden o dimensión de una Matriz

Operaciones con matrices

Matriz inversa

Determinante de una matriz cuadrada

Propiedades de los determinantes

Menor, Menor complementario y Adjunto

Matriz adjunta

Cálculo de la matriz inversa