Matemáticas

Ecuaciones

Resolución de ecuaciones: 2º grado (completas e incompletas), bicuadradas y bicúbicas, de factores, polinómicas de grado > 2 por Ruffini, ecuaciones con fracciones algebraicas, irracionales, logarítmicas, exponenciales (3 tipos) y ecuaciones con valor absoluto.

Son de la forma ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
Se resuelven aplicando la fórmula:
x=−b±b2−4ac2ax = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Ej.: x2−3x+2=0x^2 - 3x + 2 = 0
x=3±(−3)2−4⋅1⋅22x = \dfrac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2}
⇒x=1  ;x=2\Rightarrow \quad x=1\;; \quad x=2
Ecuaciones de segundo grado incompletas:
  • Si falta el término de 1º grado, ax2+c=0ax^2 + c = 0, se despeja la variable x. Ej.:
x2−4=0⇒x=±4⇒x=±2x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{4} \Rightarrow x = \pm 2
  • Si falta el término independiente ax2+bx=0ax^2 + bx = 0. Se saca factor común de x y se resuelve cada factor. Ej.:
x2−2x=0⇒x(x−2)=0⇒x=0  ;x=2x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x-2) = 0 \Rightarrow x=0\;; \quad x=2
Bicuadradas: son de la forma ax4+bx2+c=0ax^4 + bx^2 + c = 0
Se transforman en una de 2º grado haciendo el cambio de variable x2=tx^2 = t y se resuelve t con la fórmula de 2º grado.
t=−b±b2−4ac2at = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Para cada valor de t obtenido se obtienen los correspondientes valores de x deshaciendo el cambio.
Ej.: x4−3x2−4=0⇒{x2=t}⇒t2−3t−4=0x^4 - 3x^2 - 4 = 0 \Rightarrow \{x^2 = t\} \Rightarrow t^2 - 3t - 4 = 0
t=3±(−3)2−4⋅1⋅(−4)2t = \dfrac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2}
t=−1⇒x2=−1⇒x=−1∉Rt = -1 \Rightarrow x^2 = -1 \Rightarrow x = \sqrt{-1} \notin \mathbb{R}
t=4⇒x2=4⇒x=±4⇒x=±2t = 4 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm\sqrt{4} \Rightarrow x = \pm 2
Bicúbicas: son de la forma ax6+bx3+c=0ax^6 + bx^3 + c = 0
Se hace el cambio de variable x3=tx^3 = t y se resuelve t con la fórmula de 2º grado. Para cada valor de t obtenido se obtiene el correspondiente valor de x
Ej.: x6−7x3−8=0⇒{x3=t}⇒t2−7t−8=0x^6 - 7x^3 - 8 = 0 \Rightarrow \{x^3 = t\} \Rightarrow t^2 - 7t - 8 = 0
t=7±(−7)2−4⋅1⋅(−8)2t = \dfrac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2}
t=−1⇒x3=−1⇒x=−13⇒x=−1t = -1 \Rightarrow x^3 = -1 \Rightarrow x = \sqrt[3]{-1} \Rightarrow x = -1
t=8⇒x3=8⇒x=83⇒x=2t = 8 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = \sqrt[3]{8} \Rightarrow x = 2
En general, ecuaciones de la forma ax2k+bxk+c=0ax^{2k} + bx^k + c = 0 se realizará el cambio de variable xk=tx^k = t. Ej.:
x8+2x4+6=0⇒{x4=t}⇒t2+2t+6=0x^8 + 2x^4 + 6 = 0 \Rightarrow \{x^4 = t\} \Rightarrow t^2 + 2t + 6 = 0
Las ecuaciones producto de factores, de la forma:
P(x)⋅Q(x)⋅R(x)⋅…⋅T(x)=0P(x) \cdot Q(x) \cdot R(x) \cdot \ldots \cdot T(x) = 0
Se resuelven de forma inmediata igualando cada factor a 0. Ej.:
(x+1)⋅(x−2)⋅(x2−9)=0(x+1) \cdot (x-2) \cdot (x^2-9) = 0
Igualamos a 0 cada factor
x+1=0⇒x=−1x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1
x−2=0⇒x=2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2
x2−9=0⇒x=−3  ;x=3x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = -3\;; \quad x = 3
Se factorizan y se resuelven como en el caso anterior
x4+x3−5x2+x−6=0x^4 + x^3 - 5x^2 + x - 6 = 0
Factorizamos el polinomio por Ruffini
11−51−622626131301313−3−30−31010\begin{array}{r|rrrrr} & 1 & 1 & -5 & 1 & -6 \\ 2 & & 2 & 6 & 2 & 6 \\ \hline & 1 & 3 & 1 & 3 & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{r|rrrr} & 1 & 3 & 1 & 3 \\ -3 & & -3 & 0 & -3 \\ \hline & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}
(x2+1)(x−2)(x+3)=0(x^2+1)(x-2)(x+3) = 0
x2+1=0⇒x∉Rx^2 + 1 = 0 \Rightarrow x \notin \mathbb{R}
x−2=0⇒x=2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2
x+3=0⇒x=−3x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3
Se ponen las fracciones en común denominador para eliminar los denominadores. Entonces se resuelve la ecuación polinómica resultante.
Ej.:
3−x1−x2−2+x1+x=11−x\dfrac{3-x}{1-x^2} - \dfrac{2+x}{1+x} = \dfrac{1}{1-x}
3−x1−x2−(2+x)(1−x)(1+x)(1−x)=(1+x)(1−x)(1+x)\dfrac{3-x}{1-x^2} - \dfrac{(2+x)(1-x)}{(1+x)(1-x)} = \dfrac{(1+x)}{(1-x)(1+x)}
3−x−(2−x−x2)=1+x3-x - (2-x-x^2) = 1+x
x2−x=0x^2 - x = 0
x(x−1)=0x(x-1) = 0
Se obtienen las posibles soluciones
x=0;x=1x = 0 \quad ; \quad x = 1
Las soluciones hay que comprobarlas, y las que no cumplan no se toman.
En el ejemplo, la solución x=1 da una división por 0, luego no vale. La solución es:
x=0x = 0
La incógnita aparece dentro de algún radical.
Aislamos el término irracional y elevamos la ecuación al cuadrado. Ej.:
7−3x−x=7\sqrt{7-3x} - x = 7
7−3x=x+7\sqrt{7-3x} = x + 7
(7−3x)2=(x+7)2\left(\sqrt{7-3x}\right)^2 = (x+7)^2
7−3x=x2+14x+497 - 3x = x^2 + 14x + 49
x2+17x+42=0x^2 + 17x + 42 = 0
Las soluciones hay que comprobarlas en la ecuación inicial, y las que no cumplan no se toman. En el ejemplo: la respuesta es:

x=−3x = -3 es solución
x=−14x = -14 NO es solución

En algunos casos, donde tengamos varias raíces, el proceso de aislar la raíz y elevar al cuadrado la ecuación, habrá que realizarlo varias veces. Ej.:
x+x=3x+x2\sqrt{x} + x = \sqrt{3x+x^2}
(x+x)2=(3x+x2)2\left(\sqrt{x} + x\right)^2 = \left(\sqrt{3x+x^2}\right)^2
x2+2xx+x2=3x+x2\sqrt{x}^2 + 2x\sqrt{x} + x^2 = 3x + x^2
x+2xx+x2=3x+x2x + 2x\sqrt{x} + x^2 = 3x + x^2
Aislamos el radical y volvemos a elevar al cuadrado:
(2xx)2=(2x)2\left(2x\sqrt{x}\right)^2 = (2x)^2
4x2⋅x=4x24x^2 \cdot x = 4x^2
4x3−4x2=04x^3 - 4x^2 = 0
x2(x−1)=0x^2(x-1) = 0
Los resultados hay que comprobarlos.
Se obtienen x=0x=0 y x=1x=1. Se comprueban en la ecuación inicial y determinamos que ambas son soluciones válidas.
Se desglosa en dos ecuaciones sin valor absoluto: una con el término valor absoluto en positivo, y otra con el término de valor absoluto en negativo. Ej.:
2x+∣4−6x∣=82x + |4-6x| = 8
Desglosamos en 2 ecuaciones y resolvemos cada una:

2x+(4−6x)=82x + (4-6x) = 8
4x=−44x = -4
x=−1x = -1

2x−(4−6x)=82x - (4-6x) = 8
8x=128x = 12
x=32x = \dfrac{3}{2}

Utilizaremos las propiedades de los logaritmos para agrupar en un único logaritmo cada término de la ecuación. Una vez tenemos un único logaritmo a la derecha y a la izquierda, por la propiedad inyectiva, se igualan los argumentos y se resuelve la ecuación algebraica resultante. Es necesario comprobar las soluciones. Ej.:
log⁡(x+3)−log⁡(x+1)=1−log⁡5\log(x+3) - \log(x+1) = 1 - \log 5
log⁡(x+3)−log⁡(x+1)=log⁡10−log⁡5\log(x+3) - \log(x+1) = \log 10 - \log 5
log⁡(x+3x+1)=log⁡(105)\log\left(\dfrac{x+3}{x+1}\right) = \log\left(\dfrac{10}{5}\right)
Aplicamos la propiedad inyectiva:
x+3x+1=2\dfrac{x+3}{x+1} = 2
Se obtiene la solución x=1x=1 y comprobamos que es válida.
Tipo 1: Ambos términos de la ecuación se pueden poner como potencia de la misma base. Aplicamos la propiedad inyectiva e igualamos los exponentes. Se resuelve la ecuación algebraica resultante. Ej.:
21−x2=18⇒21−x2=2−32^{1-x^2} = \dfrac{1}{8} \Rightarrow 2^{1-x^2} = 2^{-3}
Propiedad inyectiva:
1−x2=−31-x^2 = -3
Se obtienen las soluciones x=−2x=-2 y x=2x=2
Tipo 2: Los términos exponenciales están en la misma base. Trasformamos los términos con incógnita en la misma exponencial, y realizaremos el cambio ax=ta^x = t.
Recordando algunas propiedades de las potencias, podemos hacer transformaciones como las siguientes:
2x+2=2x⋅22  ;22x=(2x)2  ;12x=2−x=(2x)−12^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 \;; \quad 2^{2x} = (2^x)^2 \;; \quad \dfrac{1}{2^x} = 2^{-x} = (2^x)^{-1}
Ejemplo:
9x−2⋅3x+2+81=09^x - 2 \cdot 3^{x+2} + 81 = 0
(32)x−2⋅32⋅3x+81=0(3^2)^x - 2 \cdot 3^2 \cdot 3^x + 81 = 0
(3x)2−18⋅3x+81=0(3^x)^2 - 18 \cdot 3^x + 81 = 0
Hacemos el cambio 3x=t3^x=t, y tenemos t2−18t+81=0t^2 - 18t + 81 = 0.
Se obtiene la solución t=9t=9. Deshacemos el cambio para obtener la solución final:
t=9⇒3x=9⇒3x=32⇒x=2t=9 \Rightarrow 3^x=9 \Rightarrow 3^x=3^2 \Rightarrow x=2
Tipo 3: Los términos exponenciales no se pueden poner en la misma base.
Tomaremos logaritmos en ambos términos, y utilizando las propiedades de los logaritmos, despejamos la incógnita. Ejemplo:
3x/2=53^{x/2} = 5
log⁡3(3x/2)=log⁡35\log_3\left(3^{x/2}\right) = \log_3 5
x2⋅log⁡33=log⁡35\dfrac{x}{2} \cdot \log_3 3 = \log_3 5
x=2⋅log⁡35x = 2 \cdot \log_3 5