Matemáticas

Integral indefinida. Cálculo de primitivas

Concepto de primitiva, propiedades de la integral indefinida, integración inmediata, cambio de variable, integración por partes y de funciones racionales.

Función primitiva: Una primitiva de una función f(x) es otra función F(x) tal que F'(x)=f(x)
Integral indefinida: La integral indefinida de una función f(x) es el conjunto F(x) + C de todas sus primitivas. Se representa:
∫f(x)dx=F(x)+C\int f(x)dx = F(x) + C
En algunos casos será posible reducir la dificultad de la integral utilizando la propiedad de linealidad de la integral, y descomponer la integral en trozos más sencillos. Otras técnicas muy útiles en algunos casos serán sumar y restar un mismo número, o multiplicar y dividir por el mismo. Veamos algunos ejemplos:
∫(x2+3x−2)dx=∫x2dx+∫3xdx−∫2dx==x33+3x22−2x+C\begin{aligned} \int(x^2 + 3x - 2)dx &= \int x^2 dx + \int 3x dx - \int 2 dx = \\ &= \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 2x + C \end{aligned}
∫x2x2+1dx=∫x2+1−1x2+1dx=∫x2+1x2+1dx−∫1x2+1dx==∫dx−∫1x2+1dx=x−arctg⁡x+C\begin{aligned} \int \frac{x^2}{x^2+1}dx &= \int \frac{x^2+1-1}{x^2+1}dx = \int \frac{x^2+1}{x^2+1}dx - \int \frac{1}{x^2+1}dx = \\ &= \int dx - \int \frac{1}{x^2+1}dx = x - \operatorname{arctg} x + C \end{aligned}
∫23x+1dx=13∫3⋅23x+1dx==23∫33x+1dx=23ln⁡∣3x+1∣+C\begin{aligned} \int \frac{2}{3x+1}dx &= \frac{1}{3}\int \frac{3 \cdot 2}{3x+1}dx = \\ &= \frac{2}{3}\int \frac{3}{3x+1}dx = \frac{2}{3}\ln|3x+1| + C \end{aligned}
  • Se propone un cambio de cierta expresión de x por t.
  • Se derivan ambas expresiones para obtener la diferencial dx.
  • Con el cambio propuesto debe ser posible sustituir todos los elementos de la integral y que quede más sencilla.
  • Una vez realizada la integral debemos deshacer el cambio, sustituyendo la t por la correspondiente expresión de x.
Ejemplos:
∫x1−x2dxSe propone{1−x2=t2−2x⋅dx=2t⋅dtx⋅dx=−t⋅dt}==∫−tt2dt=−∫dt=−t+C=−1−x2+C\begin{aligned} \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx \quad & \text{Se propone} \quad \left\{\begin{matrix} 1-x^2 = t^2 \\ -2x \cdot dx = 2t \cdot dt \\ x \cdot dx = -t \cdot dt \end{matrix}\right\} = \\ &= \int \frac{-t}{\sqrt{t^2}}dt = -\int dt = -t + C = -\sqrt{1-x^2} + C \end{aligned}
∫sen⁡4x⋅cos⁡x⋅dxSe propone{sen⁡x=tcos⁡x⋅dx=dt}==∫t4dt=t55+C=sen⁡5x5+C\begin{aligned} \int \operatorname{sen}^4 x \cdot \cos x \cdot dx \quad & \text{Se propone} \quad \left\{\begin{matrix} \operatorname{sen} x = t \\ \cos x \cdot dx = dt \end{matrix}\right\} = \\ &= \int t^4 dt = \frac{t^5}{5} + C = \frac{\operatorname{sen}^5 x}{5} + C \end{aligned}
Algunos cambios de variable usuales
El integrando contieneCambio sugerido
R(ax)R(a^x)ax=ta^x = t
R(ln⁡x)R(\ln x)ln⁡x=t\ln x = t
R(sen⁡mx,cos⁡nx)R(\operatorname{sen}^m x, \cos^n x)m=impar⇒cos⁡x=tm = impar \Rightarrow \cos x = t
n=impar⇒sen⁡x=tn = impar \Rightarrow \operatorname{sen} x = t
n,m=par⇒tg⁡x=tn, m = par \Rightarrow \operatorname{tg} x = t
otros⇒tg⁡(x/2)=totros \Rightarrow \operatorname{tg}(x/2) = t
R(a2+x2)R(\sqrt{a^2+x^2})x=a⋅tg⁡tx = a \cdot \operatorname{tg} t
R(a2−x2)R(\sqrt{a^2-x^2})x=a⋅sen⁡tx = a \cdot \operatorname{sen} t
R(x2−a2)R(\sqrt{x^2-a^2})x=a⋅sec⁡tx = a \cdot \sec t
En algunas integrales que tengamos un producto de funciones u y v, se puede utilizar la fórmula de integración por partes:
∫u⋅dv=u⋅v−∫v⋅du\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du
Ejemplos:
∫x⋅ln⁡x⋅dxllamamos{ln⁡x=u⇒1xdx=dux⋅dx=dv⇒x22=v}==x22ln⁡x−∫x22⋅1x⋅dx=x22ln⁡x−12∫x⋅dx=x22ln⁡x−x24+C\begin{aligned} \int x \cdot \ln x \cdot dx \quad & \text{llamamos} \quad \left\{\begin{matrix} \ln x = u \Rightarrow \frac{1}{x}dx = du \\ x \cdot dx = dv \Rightarrow \frac{x^2}{2} = v \end{matrix}\right\} = \\ &= \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x \cdot dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C \end{aligned}
∫ln⁡x⋅dxllamamos{ln⁡x=u⇒1xdx=dudx=dv⇒x=v}==x⋅ln⁡x−∫x⋅1x⋅dx=x⋅ln⁡x−∫dx=x⋅ln⁡x−x+C\begin{aligned} \int \ln x \cdot dx \quad & \text{llamamos} \quad \left\{\begin{matrix} \ln x = u \Rightarrow \frac{1}{x}dx = du \\ dx = dv \Rightarrow x = v \end{matrix}\right\} = \\ &= x \cdot \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \cdot dx = x \cdot \ln x - \int dx = x \cdot \ln x - x + C \end{aligned}
Para decidir cuál tomamos como u y cual como dv, seguiremos la regla de ALPES. El orden de las letras de esta palabra nos da la prioridad para elegir la que tomaremos como u.
  • A: Función Arco (arcsen / arccos)
  • L: Logarítmica
  • P: Potencial
  • E: Exponencial
  • S: Sinusoidal (sen / cos)
Consideraremos las integrales del tipo P(x)/Q(x)P(x)/Q(x), siendo el grado del numerador menor que el del denominador. Si el grado del numerador fuese mayor o igual que el del denominador, previamente descomponemos la integral haciendo la división. Ej.:
∫P(x)Q(x)dx=∫C(x)dx+∫R(x)Q(x)dxEj.: ∫2x2+1x2−1dx=∫2dx+∫3x2−1dx\begin{aligned} \int \frac{P(x)}{Q(x)} dx = \int C(x) dx + \int \frac{R(x)}{Q(x)} dx \qquad \text{Ej.: } \int \frac{2x^2+1}{x^2-1} dx = \int 2 dx + \int \frac{3}{x^2-1} dx \end{aligned}
Tipo 1) Integración de funciones del tipo: ∫Aax+bdx\displaystyle \int \frac{A}{ax+b} dx. Se reducen a una integral logarítmica ∫f′fdx=ln⁡∣f∣+C\displaystyle \int \frac{f'}{f} dx = \ln|f| + C. Ej.:
∫32x−5dx=12∫3⋅22x−5dx=32∫22x−5dx={Es inmediata}=32ln⁡∣2x−5∣+C\int \frac{3}{2x-5} dx = \frac{1}{2} \int \frac{3 \cdot 2}{2x-5} dx = \frac{3}{2} \int \frac{2}{2x-5} dx = \{\text{Es inmediata}\} = \frac{3}{2} \ln|2x-5| + C
Tipo 2) Integración de funciones del tipo: ∫A(ax+b)ndx\displaystyle \int \frac{A}{(ax+b)^n} dx. Se reducen a una integral potencial ∫fm⋅f′dx=fm+1m+1+C\displaystyle \int f^m \cdot f' dx = \frac{f^{m+1}}{m+1} + C. Ej.:
∫3(2x−5)4dx=12∫3⋅2(2x−5)4dx=32∫2(2x−5)−4dx=={Es inmediata}=32(2x−5)−3−3+C=−12(2x−5)3+C\begin{aligned} \int \frac{3}{(2x-5)^4} dx &= \frac{1}{2} \int \frac{3 \cdot 2}{(2x-5)^4} dx = \frac{3}{2} \int 2(2x-5)^{-4} dx = \\ &= \{\text{Es inmediata}\} = \frac{3}{2} \frac{(2x-5)^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{2(2x-5)^3} + C \end{aligned}
Tipo 3) Integración de funciones del tipo: ∫Aax2+bx+cdx\displaystyle \int \frac{A}{ax^2+bx+c} dx. Donde el polinomio del denominador no tiene raíces reales.
Se transforman en una integral de tipo arcotangente expresando el denominador como la suma de un cuadrado notable y un término independiente. Ej.:
∫32x2+4x+10dx=12∫3x2+2x+5dx=12∫3x2+2x+1+4dx=32∫1(x+1)2+4dx=={Es inmediata}=32⋅12arctg⁡x+12+C\begin{aligned} \int \frac{3}{2x^2+4x+10} dx &= \frac{1}{2} \int \frac{3}{x^2+2x+5} dx = \frac{1}{2} \int \frac{3}{x^2+2x+1+4} dx = \frac{3}{2} \int \frac{1}{(x+1)^2+4} dx = \\ &= \{\text{Es inmediata}\} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \operatorname{arctg} \frac{x+1}{2} + C \end{aligned}
Tipo 4) Integración de funciones del tipo: ∫Ax+Bax2+bx+cdx\displaystyle \int \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c} dx. Donde el polinomio del denominador no tiene raíces reales.
Se descompone en la suma de una integral inmediata logarítmica, más otra de tipo 3, arcotangente. Ej.:
∫2x−3x2+x+1dx=∫2x+1−1−3x2+x+1dx=∫2x+1x2+x+1dx+∫−4x2+x+1dx\int \frac{2x-3}{x^2+x+1} dx = \int \frac{2x+1-1-3}{x^2+x+1} dx = \int \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx + \int \frac{-4}{x^2+x+1} dx
De las dos integrales resultantes, la primera es inmediata de tipo logaritmo. La segunda es una integral de tipo 3.
Descomposición en fracciones simples
Es el proceso inverso de la suma de fracciones algebraicas. Se trata de transformar una fracción algebraica en la suma de otras más sencillas. El primer paso es obtener las raíces y factorizar el denominador. Para cada factor obtenido tendremos las correspondientes fracciones como se indica a continuación:
  • Para cada raíz real sencilla, con factor (x−a)(x-a) tendremos un sumando del tipo Ax−a\displaystyle \frac{A}{x-a} que resulta una integral del tipo 1
  • Para cada raíz real múltiple, con factor (x−b)n(x-b)^n tendremos nn sumandos; B1x−b+B2(x−b)2+…+Bn(x−b)n\displaystyle \frac{B_1}{x-b} + \frac{B_2}{(x-b)^2} + \ldots + \frac{B_n}{(x-b)^n} que resultan en integrales del tipo 1 y 2
  • Para cada raíz compleja, de factor (ax2+bx+c)(ax^2+bx+c) tendremos un sumando tipo Cx+Dax2+bx+c\displaystyle \frac{Cx+D}{ax^2+bx+c} que es una integral del tipo 4
Ejemplo:
7x+1(x−1)(x+1)2=Ax−1+Bx+1+C(x+1)2\frac{7x+1}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}
Para determinar las incógnitas A, B y C debemos igualar los numeradores de ambos términos:
7x+1=A(x+1)2+B(x+1)(x−1)+C(x−1)7x+1 = A(x+1)^2 + B(x+1)(x-1) + C(x-1)
Damos tantos valores arbitrarios a xx como incógnitas tenemos, para obtener otras tantas ecuaciones:
x=1⇒8=4A⇒A=2x=−1⇒−6=−2C⇒C=3x=0⇒1=A−B−C⇒B=−2\begin{aligned} x=1 \quad &\Rightarrow \quad 8 = 4A \quad &\Rightarrow \quad &A=2 \\ x=-1 \quad &\Rightarrow \quad -6 = -2C \quad &\Rightarrow \quad &C=3 \\ x=0 \quad &\Rightarrow \quad 1 = A-B-C \quad &\Rightarrow \quad &B=-2 \end{aligned}
Obtenemos:
2x−1−2x+1+3(x+1)2\frac{2}{x-1} - \frac{2}{x+1} + \frac{3}{(x+1)^2}