Matemáticas

Vectores en el plano

Concepto de vector, operaciones gráficas y analíticas, módulo, argumento, normalización, y estudio del producto escalar con cálculo de ángulos y proyecciones.

Un vector v⃗\vec{v} es un segmento orientado. Se designa por una pareja de coordenadas (vx,vy)(v_x, v_y) que representan el avance en la dirección horizontal y vertical respectivamente, en el plano coordenado R2\mathbb{R}^2.

Ej.: v⃗=(3,2)\vec{v} = (3, 2)
Vector en el plano coordenado indicando sus componentes horizontal y vertical
Vector entre dos puntos: dados dos puntos A(ax,ay)A(a_x, a_y) y B(bx,by)B(b_x, b_y), el vector AB⃗\vec{AB} es el segmento orientado que indica el avance desde el punto inicial AA hasta el punto final BB. Viene dado por:
AB⃗=(bx−ax,by−ay)\vec{AB} = (b_x - a_x, b_y - a_y)
Vector trazado desde el punto origen A hasta el punto destino B
Módulo: es el tamaño o longitud del vector.
∣v⃗∣=vx2+vy2|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
Ángulo o argumento: es el ángulo α\alpha formado con el semieje positivo de abscisas (eje X):
α=arctg vyvx\alpha = \text{arctg} \, \frac{v_y}{v_x}
Representación del módulo de un vector y su ángulo alpha respecto al eje horizontal
Vector unitario: es un vector de módulo 1.

Normalización de un vector u⃗\vec{u} : es determinar otro vector unitario, n⃗u\vec{n}_u de la misma dirección que u⃗\vec{u} :
n⃗u=(ux∣u⃗∣,uy∣u⃗∣)\vec{n}_u = \left( \frac{u_x}{|\vec{u}|}, \frac{u_y}{|\vec{u}|} \right)
Suma
Dados u⃗=(ux,uy)\vec{u} = (u_x, u_y) y v⃗=(vx,vy)\vec{v} = (v_x, v_y). La suma será:
u⃗+v⃗=(ux+vx,uy+vy)\vec{u} + \vec{v} = (u_x + v_x, u_y + v_y)
Ejemplo: u⃗=(2,3);v⃗=(2,−1)  ⟹  u⃗+v⃗=(2+2,3−1)=(4,2)\vec{u} = (2,3); \quad \vec{v} = (2,-1) \implies \vec{u} + \vec{v} = (2+2, 3-1) = (4,2)
Suma gráfica de vectores usando la regla del polígono o paralelogramo
Producto de un vector por un escalar
Dado v⃗=(vx,vy)\vec{v} = (v_x, v_y) y un escalar kk. El producto k⋅v⃗k \cdot \vec{v} es:
k⋅v⃗=(k⋅vx,k⋅vy)k \cdot \vec{v} = (k \cdot v_x, k \cdot v_y)
Ejemplo: Sea v⃗=(2,1);k=2  ⟹  2⋅v⃗=(2⋅2,2⋅1)=(4,2)\vec{v} = (2,1); \quad k = 2 \implies 2 \cdot \vec{v} = (2 \cdot 2, 2 \cdot 1) = (4,2)
Vector original y el mismo vector multiplicado por 2, siendo el doble de largo
Definición analítica
Sean dos vectores u⃗=(ux,uy)\vec{u} = (u_x, u_y) y v⃗=(vx,vy)\vec{v} = (v_x, v_y). El producto escalar u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} es un escalar que viene dado por:
u⃗⋅v⃗=ux⋅vx+uy⋅vy\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y
Alternativamente, se puede calcular por su definición geométrica:
u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣⋅∣v⃗∣⋅cos⁡α\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha
Siendo α\alpha el ángulo formado por los dos vectores.

Ejemplo: u⃗=(2,3);v⃗=(2,−1)  ⟹  u⃗⋅v⃗=2⋅2+3⋅(−1)=1\vec{u} = (2,3); \quad \vec{v} = (2,-1) \implies \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = 1
Ángulo entre dos vectores
Despejando de la definición geométrica del producto escalar:
α=arccos⁡(u⃗⋅v⃗∣u⃗∣⋅∣v⃗∣)\alpha = \arccos \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \right)
Representación gráfica del ángulo alpha entre los vectores u y v
Proyección de un vector sobre otro
La proyección del vector u⃗\vec{u} sobre v⃗\vec{v} es un vector con la dirección de v⃗\vec{v} que se calcula como:
Proyv⃗ u⃗=u⃗⋅v⃗∣v⃗∣2 v⃗\text{Proy}_{\vec{v}} \, \vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \, \vec{v}
Proyección ortogonal del vector u sobre la dirección del vector v
Vectores perpendiculares
Si dos vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} son normales (perpendiculares), forman un ángulo α=90∘\alpha = 90^\circ. Como cos⁡90∘=0\cos 90^\circ = 0, su producto escalar es nulo:
u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0
Dado un vector v⃗=(vx,vy)\vec{v} = (v_x, v_y) podemos hallar fácilmente un vector perpendicular de la forma:
u⃗⊥v⃗=(−vy,vx)o(vy,−vx)\vec{u}_{\perp \vec{v}} = (-v_y, v_x) \quad \text{o} \quad (v_y, -v_x)
Vectores paralelos
Si dos vectores son paralelos, tienen la misma dirección, por lo que sus coordenadas son proporcionales. Se cumple que:
u⃗=k⋅v⃗o bienuyux=vyvx\vec{u} = k \cdot \vec{v} \quad \text{o bien} \quad \frac{u_y}{u_x} = \frac{v_y}{v_x}
Distancia entre dos puntos
La distancia entre los puntos A(ax,ay)A(a_x, a_y) y B(bx,by)B(b_x, b_y) es igual al módulo del vector que los une:
d(A,B)=(bx−ax)2+(by−ay)2=∣AB⃗∣d(A, B) = \sqrt{(b_x - a_x)^2 + (b_y - a_y)^2} = |\vec{AB}|
Punto medio de un segmento
Las coordenadas del punto medio MM de un segmento formado por los puntos A(ax,ay)A(a_x, a_y) y B(bx,by)B(b_x, b_y) vienen dadas por la semisuma de sus coordenadas:
M=(ax+bx2,ay+by2)M = \left( \frac{a_x + b_x}{2}, \frac{a_y + b_y}{2} \right)
Punto M situado exactamente en la mitad del segmento formado por A y B
Punto simétrico de un punto respecto a otro
Dados los puntos A(ax,ay)A(a_x, a_y) y B(bx,by)B(b_x, b_y), el punto C(x,y)C(x, y) simétrico de AA respecto de BB debe cumplir que el vector AB⃗\vec{AB} sea igual al vector BC⃗\vec{BC}:
AB⃗=BC⃗  ⟹  (bx−ax,by−ay)=(x−bx,y−by)\vec{AB} = \vec{BC} \implies (b_x - a_x, b_y - a_y) = (x - b_x, y - b_y)
Vectores AB y BC de igual longitud y dirección mostrando a C como punto simétrico
Ejemplo: Calcular el simétrico de A(2,3)A(2, 3) respecto a B(1,−2)B(1, -2).
Siendo AB⃗=(1−2,−2−3)=(−1,−5)\vec{AB} = (1-2, -2-3) = (-1, -5) y BC⃗=(x−1,y−(−2))=(x−1,y+2)\vec{BC} = (x-1, y-(-2)) = (x-1, y+2):
(−1,−5)=(x−1,y+2)(-1, -5) = (x - 1, y + 2)
Igualando coordenadas obtenemos x=0x = 0 y y=−7y = -7, luego el punto es C(0,−7)C(0, -7).