Matemáticas

Estadística bidimensional

Estudio de distribuciones bidimensionales, nube de puntos, parámetros estadísticos marginales, covarianza, correlación de Pearson y rectas de regresión.

Son aquellas en las que se estudian dos variables de cada elemento de la población: por ejemplo peso y altura, denotándose como un par de valores (xi,yi)(x_i, y_i).
Ejemplo: Sea la siguiente distribución de peso y estatura de una población de 10 jugadores de baloncesto:
Estatura (x)186189190192193193198201203205
Peso (y)85858690879193103100101

Nube de puntos

Es la representación en el plano x-y de los puntos de la distribución. Da una idea de la relación entre las dos variables.
Nube de puntos
xix_iyiy_ifif_ixi⋅fix_i \cdot f_iyi⋅fiy_i \cdot f_ixi2⋅fix_i^2 \cdot f_iyi2⋅fiy_i^2 \cdot f_ixiyi⋅fix_i y_i \cdot f_i
1868511868534596722515810
1898511898535721722516065
1908611908636100739616340
1929011929036864810017280
1938711938737249756916791
1939111939137249828117563
1989311989339204864918414
2011031201103404011060920703
2031001203100412091000020300
2051011205101420251020120705
∑ = 1950921N=10195092138061885255179971
Siendo fif_i el número de veces que se repite cada dato. En el ejemplo todos los datos son únicos.
Correlación
Indica la dependencia de una variable con la otra.
  • Fuerte: las dos variables están muy relacionadas. En la nube de puntos, los puntos están alineados.
  • Débil: no hay relación apreciable entre las variables. La nube de puntos es dispersa.
  • Directa: cuando una variable crece, la otra también lo hace. La pendiente de la línea de correlación es positiva.
  • Inversa: al aumentar una variable, disminuye la otra. La pendiente de la recta de correlación es negativa.
Coeficiente de correlación de Pearson, r
Mide numéricamente el valor de la correlación entre las dos variables. Toma un valor entre [-1, 1]. Ver cuadro de la fórmula para calcularlo.
  • Si r≈±1r \approx \pm 1 correlación funcional (perfecta).
  • Si rr cercano a ±1\pm 1 correlación fuerte.
  • Si rr cercano a 00 correlación débil.
Medias marginales:
xˉ=∑xi⋅fiNyˉ=∑yi⋅fiN\bar{x} = \frac{\sum x_i \cdot f_i}{N} \quad \quad \bar{y} = \frac{\sum y_i \cdot f_i}{N}
En nuestro ejemplo xˉ=195\bar{x} = 195, yˉ=92,1\bar{y} = 92,1
El punto (xˉ,yˉ)(\bar{x}, \bar{y}) se llama centro medio
Varianzas marginales:
σx2=∑xi2⋅fiN−xˉ2σy2=∑yi2⋅fiN−yˉ2\sigma_x^2 = \frac{\sum x_i^2 \cdot f_i}{N} - \bar{x}^2 \quad \quad \sigma_y^2 = \frac{\sum y_i^2 \cdot f_i}{N} - \bar{y}^2
En nuestro ejemplo σx2=36,8\sigma_x^2 = 36,8, σy2=43,09\sigma_y^2 = 43,09
Desviaciones típicas marginales: valor positivo de la raíz cuadrada de las varianzas marginales:
σx=+σx2σy=+σy2\sigma_x = +\sqrt{\sigma_x^2} \quad \quad \sigma_y = +\sqrt{\sigma_y^2}
Covarianza
σxy=∑xi⋅yi⋅fiN−xˉ⋅yˉ\sigma_{xy} = \frac{\sum x_i \cdot y_i \cdot f_i}{N} - \bar{x} \cdot \bar{y}
Coeficiente de correlación:
r=σxyσx⋅σyr = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y}
  • Si r>0\mathbf{r > 0}, la correlación es directa.
  • Si r<0\mathbf{r < 0}, la correlación es inversa.
Correlación directa e inversa
Es la recta que mejor se ajusta a la nube de puntos, pasando por el centro medio (xˉ,yˉ)(\bar{x}, \bar{y}). Hay dos rectas de regresión: de y sobre x, y de x sobre y:
Rectas de regresión
De Y sobre X:
y−yˉ=σxyσx2(x−xˉ)y - \bar{y} = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}(x - \bar{x})
De X sobre Y:
x−xˉ=σxyσy2(y−yˉ)x - \bar{x} = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_y^2}(y - \bar{y})