Matemáticas

Sistemas de ecuaciones I

Sistemas lineales con 2 incógnitas (reducción, igualación, sustitución y tipos de soluciones), sistemas no lineales con 2 incógnitas, y Método de Gauss para sistemas de 3 ecuaciones con discusión de compatibilidad y parámetros.

Son sistemas formados por dos ecuaciones lineales de la forma:
{A x+B y=CA′x+B′y=C′\begin{cases} A\,x + B\,y = C \\ A'x + B'y = C' \end{cases}
Se pueden resolver utilizando los métodos de reducción, igualación y sustitución.
Interpretación geométrica: considerando que las ecuaciones del sistema representan rectas en el plano, los tres tipos de soluciones del sistema serían las posiciones relativas entre las 2 rectas:
CondiciónTipo de sistemaNº sol.Posiciones
AA′=BB′=CC′\dfrac{A}{A'} = \dfrac{B}{B'} = \dfrac{C}{C'}Compatible
indeterminado		∞\inftyRectas coincidentes
AA′=BB′≠CC′\dfrac{A}{A'} = \dfrac{B}{B'} \neq \dfrac{C}{C'}Incompatible00Rectas paralelas
AA′≠BB′\dfrac{A}{A'} \neq \dfrac{B}{B'}Compatible
determinado		11Rectas secantes
Son sistemas formados por dos ecuaciones, alguna de las cuales no es de primer grado. En general se resuelven por sustitución, aunque pueden ser útiles otros métodos. Cada solución es un par (x, y). Veamos algunos ejemplos:
{x2+y2=169x+y=17\begin{cases} x^2 + y^2 = 169 \\ x + y = 17 \end{cases}
Resolvemos por sustitución. Despejamos x de la 2ª ec. x=17−yx = 17 - y, y sustituimos en la 1ª:
(17−y)2+y2=169(17-y)^2 + y^2 = 169
Sol.: (12,5)  ;(5,12)(12, 5)\;; \quad (5, 12)
{y2−2y+1=xx+y=5\begin{cases} y^2 - 2y + 1 = x \\ \sqrt{x} + y = 5 \end{cases}
Resolvemos por sustitución. La x ya está despejada en la 1ª ecuación. Sustituimos en la 2ª:
y2−2y+1+y=5\sqrt{y^2 - 2y + 1} + y = 5
Sol.: (4,3)(4, 3)
{3x2+2y2=112x2+4y2=18\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 11 \\ 2x^2 + 4y^2 = 18 \end{cases}
Resolvemos por reducción.
3E2−2E1{3x2+2y2=110+8y2=32\begin{matrix} \\ 3E_2 - 2E_1 \end{matrix} \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 11 \\ 0 + 8y^2 = 32 \end{cases}
Para cada solución obtenida de y resolvemos x, se tiene:

Sol.: (−1,−2)  ;(−1,2)  ;(1,−2)  ;(1,2)(-1, -2)\;; \quad (-1, 2)\;; \quad (1, -2)\;; \quad (1, 2)

{log⁡x+log⁡y=3log⁡1x+log⁡y2=3\begin{cases} \log x + \log y = 3 \\ \log \dfrac{1}{x} + \log y^2 = 3 \end{cases}
Aplicando las propiedades de los logaritmos se obtiene:
{x⋅y=1000y2x=1000\begin{cases} x \cdot y = 1000 \\ \dfrac{y^2}{x} = 1000 \end{cases}
Se resuelve por sustitución, despejando x de la 1ª y sustituyendo en la 2ª (Hay que comprobar la solución).
y31000=1000\dfrac{y^3}{1000} = 1000
Sol.: (10,100)(10, 100)
El método de Gauss es el método de reducción aplicado a sistemas lineales de 3 o más ecuaciones. Consiste en transformar el sistema de ecuaciones en otro equivalente escalonado, de la forma
{Ax+By+Cz=DAx+B′y+C′z=D′Ax+By+C′′z=D′′\begin{cases} Ax + By + Cz = D \\ \phantom{Ax + } B'y + C'z = D' \\ \phantom{Ax + By + } C''z = D'' \end{cases}
  • Por simplicidad, escribimos el sistema como una matriz.
  • Ordenamos el sistema. Tomamos como pivote la ecuación más sencilla y la ponemos la 1ª.
  • Mediante combinaciones lineales eliminamos los términos en x de la 2ª y 3ª ecuación (También se puede actuar así con cualquier otra incógnita).
  • Eliminamos el término en y de la 3ª combinado con la 2ª.
  • Solucionamos de abajo a arriba.
Ejemplo:
{x−2y+z=32x−5y+3z=45x+y+7z=11⇒(1−21∣32−53∣4517∣11)=\begin{cases} x - 2y + z = 3 \\ 2x - 5y + 3z = 4 \\ 5x + y + 7z = 11 \end{cases} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 3 \\ 2 & -5 & 3 & | & 4 \\ 5 & 1 & 7 & | & 11 \end{pmatrix} =
=E2−2E1E3−5E1(1−21∣30−11∣−20112∣−4)=E3+11E2(1−21∣30−11∣−20013∣−26)= \begin{matrix} \\ E_2 - 2E_1 \\ E_3 - 5E_1 \end{matrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 3 \\ 0 & -1 & 1 & | & -2 \\ 0 & 11 & 2 & | & -4 \end{pmatrix} = \begin{matrix} \\ \\ E_3 + 11E_2 \end{matrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 3 \\ 0 & -1 & 1 & | & -2 \\ 0 & 0 & 13 & | & -26 \end{pmatrix}
La última ecuación resultante es 13z=−2613z = -26. Solucionando hacia arriba obtenemos: x=5  ;y=0  ;z=−2x=5\;; \quad y=0\;; \quad z=-2
Discusión de sistemas por el método de Gauss
Aplicado Gauss, si la última ecuación resultante es del tipo:
  • (0, 0, 0, 0) nula: el sistema es Compatible Indeterminado. Se resuelve tomando una incógnita como parámetro.
  • (0, 0, K1K_1, K2K_2) o (0, 0, K, 0): es Compatible Determinado
  • (0, 0, 0, K) con K≠\neq0: el sistema es Incompatible.
{x−2y=−3−2x+3y+z=42x+y−5z=4⇒(1−20∣−3−231∣421−5∣4)=\begin{cases} x - 2y = -3 \\ -2x + 3y + z = 4 \\ 2x + y - 5z = 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & | & -3 \\ -2 & 3 & 1 & | & 4 \\ 2 & 1 & -5 & | & 4 \end{pmatrix} =
=E2+2E1E3−2E1(1−20∣−30−11∣−205−5∣10)=E3+5E2(1−20∣−30−11∣−2000∣0)= \begin{matrix} \\ E_2 + 2E_1 \\ E_3 - 2E_1 \end{matrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & | & -3 \\ 0 & -1 & 1 & | & -2 \\ 0 & 5 & -5 & | & 10 \end{pmatrix} = \begin{matrix} \\ \\ E_3 + 5E_2 \end{matrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & | & -3 \\ 0 & -1 & 1 & | & -2 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}
El sistema es compatible indeterminado. Tiene infinitas soluciones. Tomamos z=λz=\lambda y la 2ª ec. queda: −y+λ=−2-y+\lambda = -2
Solucionando hacia arriba: x=2λ+1  ;y=λ+2  ;z=λx = 2\lambda + 1 \;; \quad y = \lambda + 2 \;; \quad z = \lambda
Discusión de sistemas con parámetro. Ejemplo
Aplicamos el método de Gauss y discutimos los valores del parámetro de la última ecuación según el punto anterior:
{x−2y−3z=−12x−y+z=34x−5y−kz=1⇒(1−2−3∣−12−11∣34−5−k∣1)=\begin{cases} x - 2y - 3z = -1 \\ 2x - y + z = 3 \\ 4x - 5y - kz = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 & | & -1 \\ 2 & -1 & 1 & | & 3 \\ 4 & -5 & -k & | & 1 \end{pmatrix} =
=E2−2E1E3−4E1(1−2−3∣−1037∣50312−k∣5)=E3−E2(1−2−3∣−1037∣5005−k∣0)= \begin{matrix} \\ E_2 - 2E_1 \\ E_3 - 4E_1 \end{matrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 & | & -1 \\ 0 & 3 & 7 & | & 5 \\ 0 & 3 & 12-k & | & 5 \end{pmatrix} = \begin{matrix} \\ \\ E_3 - E_2 \end{matrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 & | & -1 \\ 0 & 3 & 7 & | & 5 \\ 0 & 0 & 5-k & | & 0 \end{pmatrix}
Evaluando la última ecuación:
  • Si k=5, la 3ª ecuación queda del tipo (0, 0, 0, 0) nula: el sistema es Compatible Indeterminado.
  • Si k≠\neq5, la 3ª ecuación queda del tipo (0, 0, K, 0): el sistema es Compatible Determinado.